Convergencia a la media aritmética de las siguientes series.

Question

Deje $m \in \mathbb{N}$ ser fijas y $\forall i \in \{1,2,...m\}, a_{i}\geq0$ Ahora, definir $S_{n} = \bigg( \sum_{i=1}^{m}\frac{1}{m}a_{i}^{\frac{1}{n}}\bigg)^{n}$. Quiero mostrar que la $\lim\limits_{n\to\infty}S_{n} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}a_{i}$. En otras palabras, el $S_{n}$ converge a la media aritmética.

Por lo tanto, mi intento es, hasta ahora, para aplicar el teorema del sandwich. Mediante el uso de la desigualdad de Jensen, puedo obtener $$0\leq S_n \leq \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}a_{i}$$ Mi problema es el límite inferior dado que sólo puedo obtener $\frac{1}{m^{n}}\sum_{i=1}^{m}a_{i}$ que tiende a $0$ como $n\to\infty$.

Cualquier ayuda para obtener el límite inferior o alguna sugerencia para el uso de otro método podría ser agradable.

Muchas gracias!

Answer 1

Suponemos que a $a_i\gt 0$ para todos los $i$. Si no, el límite es cero, porque en este caso, $$ S_n\leqslant \left(\frac{m-1}m\right)^n\max_{1\leqslant i\leqslant m}a_i. $$

Primero observar que $$ \ln S_n=n\ln\left(1+\frac 1m\sum_{i=1}^m\left(a_i^{1/n}-1\right)\right). $$ Dejando $b_n:= \frac 1m\sum_{i=1}^m\left(a_i^{1/n}-1\right)$, podemos reescribir esto como $$ \etiqueta{1}\ln S_n=nb_n\frac{\ln\left(1+b_n\right)}{b_n}. $$ Desde $\lim_{t\to 0}\frac{\ln (1+t)}t=1$ e $b_n\to 0$, basta con mirar la convergencia de $nb_n$. Para este objetivo, demostrar que para todo número positivo $x$, $n\left(x^{1/n}-1\right)\to \ln x$ (el uso de la derivada de la función exponencial, por ejemplo). De ello se sigue que $$ \etiqueta{2}\lim_{n\to +\infty}nb_n=\frac 1m\sum_{i=1}^m\ln a_i. $$ La combinación de (1), (2) y la continuidad de la $\exp$ función da el resultado.