Evaluar

Question

Interesado en evaluar:

$\int_0^1 (\ln(x)\ln(1-x))^n dx,$ donde $n \in \Bbb Z^+.$

Realmente no sé cómo abordar este problema para $n > 1.$

Pude llegar a este paso: $\int_0^1 (\ln(x)\ln(1-x))^n dx= \int_0^1(\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}n\ln x)^n dx\\$ .

Esta pregunta está relacionada con: Evaluar$ \int_{0}^{1} \ln(x)\ln(1-x)\,dx $

Answer 1

$$B(x,y)=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$ $ Donde $B(x,y)$ es la función Beta . Por lo tanto $$\int_0^1 \left(\ln(t)\ln(1-t)\right)^ndt=\left(\frac{d}{dy}\frac{d}{dx}\right)^nB(x,y)|_{(x,y)=(1,1)}$ $