Considere la matriz $$\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$
Esta no es la matriz de $T$ w.r.t. para cualquier base pero todavía puede ser útil debido a que formalmente$$T\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}, \quad \forall\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} \in X \times X $$
Su polinomio característico es $\lambda^2-2$ , de modo que los valores propios son $\pm \sqrt{2}$.
Compruebe que para $\lambda\ne \pm\sqrt{2}$ hemos
$$(T-\lambda I)^{-1}\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1-\lambda & 1 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} = -\frac1{\lambda^2-2}\begin{bmatrix}\lambda+1 & 1 \\ 1 & \lambda-1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} $$
y este es un delimitada lineal mapa para $\lambda \notin \sigma(T)$.
Por otro lado, para $\lambda = \pm\sqrt{2}$, tenemos
$$T\begin{bmatrix}(1\pm\sqrt{2})y \\ y\end{bmatrix} = \pm\sqrt{2}\begin{bmatrix}(1\pm\sqrt{2})y \\ y\end{bmatrix}$$
para cualquier $y \in X, y \ne 0$ lo $\pm \sqrt{2} \in \sigma_p(T)$.
Por lo tanto, $\sigma(T) = \sigma_p(T) = \{\pm\sqrt{2}\}$ e $\sigma_r(T) = \sigma_c(T) = \emptyset$.
Tenemos
\begin{align}
\left\|(T-\lambda I)^{-1}\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}\right\| &= \frac1{|\lambda^2-2|}\left\|\begin{bmatrix}(\lambda+1)x+y \\ x+(\lambda-1)y \end{bmatrix}\right\| \\
&= \frac1{|\lambda^2-2|}(\|(\lambda+1)x+y \| + \|x+(\lambda-1)y\|)\\
&\le \frac1{|\lambda^2-2|}(|\lambda+1|\|x\|+\|s\| + \|x\|+|\lambda-1|\|s\|)\\
&\le \frac{\max\{1+|\lambda+1|, 1+|\lambda-1|\}}{|\lambda^2-2|}(\|x\|+\|s\|)\\
&= \frac{\max\{1+|\lambda+1|, 1+|\lambda-1|\}}{|\lambda^2-2|}\left\|\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right\|\\
\end{align}
por lo
$(T-\lambda I)^{-1}$ está acotada. Sin embargo, esto sigue también de la Limitada Inversa Teorema una vez que compruebe que
$(T-\lambda I)^{-1}$ es de hecho el algebraicas inversa de la limitada mapa de
$T-\lambda I$.
