Encuentre$K$% positivo de manera que$\int_0^\infty\left(\frac{1}{\sqrt{2x^2+1}}-\frac{K}{x+1}\right)dx$ converja

Question

Positivo a la $K$ tales que $$\int_0^\infty\left(\frac{1}{\sqrt{2x^2+1}}-\frac{K}{x+1}\right)dx$$ converge

He utilizado el hecho de que $\frac{1}{\sqrt{2x^2+1}}-\frac{K}{x+1}>\frac{-K+1/\sqrt2}{1+x}$ para $x>1$ a demostrar que diverge para $K < 1/\sqrt2$.
Y el hecho de que $\frac{1}{\sqrt{2x^2+1}}-\frac{K}{x+1}<\frac{1-K}{x+1}$ a demostrar que diverge para $K>1$.

Sin embargo no estoy seguro de cómo probar que converge (o no) en $[\frac1{\sqrt2},1]$.

Creo que no converge para cualquier $K$ becase la denomiantor es sorta lineal y esto nunca sería idéntica $0$ cualquier $K$.

Answer 1

Tus límites son correctos pero demasiado débiles. Aquí necesitamos un análisis asintótico más preciso.

Tenga en cuenta que como $x\to +\infty$ , $$ \begin{align*}\frac{1}{\sqrt{2x^2+1}}-\frac{K}{x+1}&=\frac{x+1-\sqrt{2}Kx\sqrt{1+\frac{1}{2x^2}}}{(x+1)\sqrt{2x^2+1}}\\ &=\frac{x+1-\sqrt{2}Kx(1+\frac{1}{4x^2}+o(\frac{1}{x^2}))}{\sqrt{2}x^2+O(x)}\\ &=\frac{(1-\sqrt{2}K)x+1+O(1/x)}{\sqrt{2}x^2+O(x)}.\end {align *} $$ ¿Qué podemos concluir?

Answer 2

Insinuación

Sugiero echar un vistazo a lo que sucede en los límites.

Para $x$ cerca de $0$ , la expansión de Taylor del integrand es $$\frac{1}{\sqrt{2x^2+1}}-\frac{K}{x+1}=(1-K)+K x-(K+1) x^2+O\left(x^3\right)$ $

Ahora, para valores infinitamente grandes de $x$ , $$\frac{1}{\sqrt{2x^2+1}}-\frac{K}{x+1}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}-K}{x}+\frac{K}{x^2}+O\left(\frac{1}{x^3}\right)$ $

¿Esto te dice algo?