Hallar la longitud del lado de un triángulo

Question

Tengo el siguiente triángulo y debo encontrar el valor de x.

Lo primero que se me ocurre es utilizar la siguiente ecuación de tangencia

$$\tan(y)=\frac{x}{27}$$ y $$\tan(19+y) = \frac{2x}{27}$$ lo que implica que $$\tan(19+y) =2\tan(y)$$ y resolver para $y$ y una vez que he encontrado $y$ Puedo encontrar fácilmente $x$ .

No tengo una solución fácil para la última ecuación y creo que estoy complicando las cosas innecesariamente. (Es una pregunta de geometría de 10º curso).

Edita: Utilizando el hecho $\tan(a+b) = \dfrac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}$ se obtiene la siguiente ecuación cuadrática $$2\tan(19)\tan^2(y)-\tan(y)+\tan(19) = 0$$ que le da ese $\tan(y) = 0.890833$ o $\tan(y)= 0.561272$ lo que significa $x = 27\times0.890833$ o $x= 27\times 0.561272$ .

Así que la cuestión es ahora qué $x$ ¿debo elegir y por qué? y ¿es esto más complicado de lo que debería?

Answer 1

Como has notado $2\tan(y)=\tan(19+y)$ . Por lo tanto $$2\tan(y)=\frac{2x}{27}=\tan(19+y)=\frac{\tan(19)+\tan(y)}{1-\tan(y)\tan(19)}=\frac{\tan(19)+\frac{x}{27}}{1-\tan(19)·\frac{x}{27}}=\frac{27\tan(19)+x}{27-\tan(19)x}$$ $$\iff \frac{2x}{27}=\frac{27\tan(19)+x}{27-\tan(19)x}\iff 54x-2\tan(19)·x^2=729\tan(19)+27x$$ $$\iff 2\tan(19)·x^2-27x+729\tan(19)=0$$ Esto da $$x=15.15...\lor x=24.05...$$

Ahora, como puedes ver en la siguiente imagen (realizada con geogebra), ambos valores son correctos:

Answer 2

Creo que entonces puedes usar la regla del seno y el teorema de Pitágoras: $$\frac{x}{\sin(19)} = \frac{\sqrt{x^2+27^2}}{\sin(71-y)}$$ Y ya vemos: $$\sin(71-y)=\frac{27}{\sqrt{4x^2+27^2}}$$ Por lo tanto, si sustituimos: $$\frac{x}{\sin(19)} = \frac{\sqrt{x^2+27^2}\sqrt{4x^2+27^2}}{27}$$ Resolución de $x$ : $$x=15.15...\lor x=24.05...$$ ... bruja se ajusta a su respuesta.

PS. Ambos valores de $x$ cumplen, porque satisfacen la ecuación. ¿Y esa propiedad tan se conoce en 10º curso? Si no, usa lo anterior.