El radio medio de una elipse

Question

Recientemente he estado estudiando la 3ª ley de Kepler que utiliza el radio medio de una órbita. Me encantaría saber cómo encontrar el radio geométrico medio de una elipse. ¿Podrías por favor mostrarme o al menos ayudarme con el proceso de integración?

Answer 1

Pistas:

La ecuación polar del elipse con un foco en el origen y otro en el eje real positivo ( $e = $ excentricidad) es:

$$r = \frac{a(1 - e^2)}{1 - e\cos(\theta)}.$$

Y el radio medio se puede calcular mediante la integral

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}r(\theta)d\theta.$$

¿Puede continuar?

Actualización: ya preguntó en Astronomy SE . El hecho importante:

Es el semieje mayor el que define el periodo, no la distancia media.

Conclusión: la "media simple" $\ne$ el integral media. También interesante (y diferente): el tiempo media.

Actualización 2: haciendo la cov $z = \tan(\theta/2)$ , $$\int\frac{1}{1 - e\cos(\theta)}d\theta = \int\frac{1}{1 - e\frac{1 - z^2}{1 + z^2}}\frac{2}{1 + z^2}dz = \int\frac{2}{(1 + e)z^2 + (1 - e)}dz =$$ $$ = \frac{2}{\sqrt{1 - e^2}}\arctan\left(\frac{\sqrt{1 + e}}{\sqrt{1 - e}}z\right) = \frac{2}{\sqrt{1 - e^2}}\arctan\left(\frac{\sqrt{1 + e}}{\sqrt{1 - e}}\tan(\theta/2)\right).$$

Answer 2

@Martin-Blas ya ha sugerido dos posibles nociones de media

1. Haga una media con respecto a $\theta$ el ángulo central

2. Tomar una media con respecto al tiempo, es decir, $$ \frac{1}{T}\int_0^T \| u(t) \| dt, $$ donde $T$ es el período, y $u(t)$ es la posición del planeta en el momento $t$ y el sol se encuentra en el origen del sistema de coordenadas.

Hay una tercera noción, que es

3. Una media con respecto a la arclitud, es decir, $$ \int_0^L \| u(t) \| ds$$ donde $L$ es la arclitud total de la elipse, y $ds = \|u'(t)\| dt$ es un integrando de longitudes.

Estoy bastante seguro de que incluso se podría inventar alguna otra, pero la clave aquí es la que han mencionado otros: esta pregunta no tiene respuesta hasta que se conoce la medida con respecto a la cual se está calculando la "media".

Answer 3

Depende de tu definición de lo que significa el radio medio en este contexto. Por ejemplo, si definimos el radio medio de una elipse como el radio $r$ de un círculo que tiene la misma área que una elipse cuya longitud de los semiejes mayor y menor son $a$ y $b$ entonces $$ Area = \pi r^2 = \pi ab $$

que da $r = \sqrt {ab}$ .

La definición alternativa es tomar literalmente la media de $a$ y $b$ o $r = \frac{a+b}{2}$ .