Cómo recordar las identidades trigonométricas

Question

Tengo una prueba mañana y estoy teniendo problemas para recordar las identidades trigonométricas molestas (como $1-\cos x=2\sin^2(\frac{x}{2})$)

¿Ustedes tienen algún consejo sobre cómo puedo recordar estas?

Gracias :)

Answer 1

Para lo que vale:

Acabo de memorizar una identidad Pitagórica y uno de la suma de las identidades. Muchos de los otros (aparte de lo obvio: la reciprocidad, la periodicidad, y de Pitágoras) se pueden derivar de empezando con uno de la suma de las fórmulas.

Así, sólo podía memorizar cómo se derivan de ellos. Por supuesto, en un escenario de prueba, este puede perder su precioso tiempo...

Recíproca de las identidades

El recíproco identidades seguir a partir de las definiciones de las funciones trigonométricas.

$$\eqalign { \sec\theta y= {1\over \cos\theta} \qquad \tan\theta= {\sin\theta\\cos\theta} \cr \csc\theta y= {1\over \sin\theta} \qquad \cuna\theta= {1\over \tan\theta} \cr } $$

La periodicidad de las relaciones

La Periodicidad de las relaciones seguir fácilmente teniendo en cuenta la participan los ángulos en el círculo unidad.

$$\def\ts{}\eqalign { \sin(\theta)&= \sin(\theta \pm2k\pi) \qquad \csc(\theta)= \csc(\theta \pm2k\pi) \cr \cos(\theta)&= \cos(\theta \pm2k\pi) \qquad \s(\theta)= \s(\theta \pm2k\pi)\cr \tan(\theta)&= \tan(\theta \pm k\pi)\phantom{2} \qquad \cuna(\theta)= \cuna(\theta \pm k \pi) \cr } $$

$$\eqalign { \sin(\theta) y= - \sin(\theta\pi) \qquad \csc(\theta)= - \csc(\theta\pi) \cr \cos(\theta) y= - \cos(\theta\pi) \qquad \s(\theta)= - \s(\theta\pi) \cr \tan(\theta) y= - \tan(\theta\ts{\pi\over2}) \qquad \kern-3pt \cuna(\theta)= - \cuna(\theta\ts{\pi\over2}) \cr } $$

Pitágoras Identidades

La primera Identidad Pitagórica se sigue del Teorema de Pitágoras (ver el círculo unitario). Los otros dos Pitágoras Identidades seguir desde el primer dividiendo ambos lados por la expresión apropiada (dividir por $\sin$ o $\cos$ para obtener los otros dos).

$$\eqalign { \sin^2\theta +\cos^2\theta y=1\cr 1+ \cot^2\theta& =\csc^2\theta\cr \tan^2\theta + 1& = \s^2\theta} $$

La suma y la diferencia de las fórmulas de

Memorizar la primera suma y la diferencia de la fórmula. La segunda puede ser derivada a partir de los primeros en usar el hecho de que $\sin$ es una función impar.

Uno puede entonces deducir los dos últimos suma de identidades mediante el uso de los dos primeros y el hecho de que $\cos(\theta-\pi/2)=\sin\theta$.

$$\eqalign{ \cos(x+y)&=\cos x\cos y-\sin x\pecado y\cr \cos(x-y)&=\cos x\cos y+\sin x\pecado y\cr \sin(x+y)&=\sin x\cos y+\pecado y\cos x\cr \sin(x-y)&=\sin x\cos y-\pecado y\cos x\cr } $$

Doble ángulo de fórmulas

El Doble Ángulo de fórmulas para $\sin$ $\cos$ son derivados por el uso de la Suma y la Diferencia de las fórmulas por escrito, por ejemplo, $\cos(2\theta)=\cos(\theta+\theta)$ y el uso de Pitágoras Identidades para el $\cos$ fórmula (supongo que la fórmula para $\tan$ debe ser memorizado).

$$\eqalign{ \sin(2\theta) y=2\sin\theta\cos\theta \cr \tan(2\theta)&= {2\tan \theta\más de 1\tan^2\theta } \cr \cos(2\theta)&= \cos^2\theta\sin^2\theta \cr Y=2\cos^2\theta -1\cr &=1-2\sin^2\theta\cr } $$

La mitad del ángulo de fórmulas

La Mitad de Ángulo fórmulas para $\sin$ $\cos$ son obtenidas a partir de la Doble Ángulo fórmula para $\cos$ por la escritura, por ejemplo, $\cos\theta=\cos(2\cdot{\theta\over2})$

El $\tan$ fórmula de aquí se puede obtener fácilmente a partir de los otros dos. (Nota de los formularios para la $\cos$ $\sin$ fórmulas. Estos no son difíciles de memorizar)

$$\eqalign{ \cos{\theta\over2}&= \pm\sqrt{1+\cos\theta\over2}\cr \sin{\theta\over2}&= \pm\sqrt{1-\cos\theta\over2}\cr \bronceado{\theta\over2}&=\pm\sqrt{1-\cos\theta\over1+\cos\theta} }$$

Answer 2

Mi truco favorito: no recuerdo a ninguno de ellos. :-) La única cosa que tengo en mente es que esta matriz

$$ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$

gira vectores en el plano en un ángulo $\theta$ y la multiplicación de la matriz es la misma composición. Por lo tanto, usted tiene las identidades como

$$ \begin{pmatrix} \cos(2\theta) & -\sin(2\theta) \\ \sin(2\theta) & \cos(2\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$

de donde se desprende

$$ \cos(2\theta) = \cos^2\theta \sin^2\theta $$

y

$$ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta \ . $$

Alternativamente, como yoyo dice, puede utilizar la identidad de Euler,

$$ e^{i\theta} = \cos\theta + \sin\theta $$

para encontrar, por ejemplo, que

$$ \cos(\theta + \phi) + i\sin(\theta + \phi) = e^{i(\theta + \phi)} = e^{i\theta}e^{i\phi} = (\cos\theta + \sin\theta) (\cos\phi + i\sin\phi) \ . $$

Por lo tanto,

$$ \cos(\theta + \phi) = \cos\theta\cos\phi \sin\theta\sin\phi $$

y

$$ \sin(\theta + \phi) = \sin\theta\cos\phi + \cos\theta\sin\phi \ . $$

Answer 3

usted debe recordar los siguientes $$ \sin (\pm b)=\sin(un)\cos(b)\pm\cos(a)\sin(b) $$ $$ \cos (\pm b)=\cos\cos b\mp\sin\pecado b $$ $$ \cos^2x+\sin^2x=1 $$ a partir de estos (con $x=a=b$) que usted puede obtener $$ \cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sen^2x=2\cos^2x-1 $$ y varios otros reordenamientos.

esto puede no ser útil, pero cuando no podía recordar de seno/coseno de una suma (es decir, antes de la enseñanza), yo uso $$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$ y $$ e^{i(\theta+\phi)}=e^{i\theta}e^{i\phi} $$ para encontrar (o comprobar mi memoria)

Answer 4

Aparte de la suma/diferencia tres fórmulas publicados por yoyo que son útiles conocer de memoria utilizan la visualización de un vector de movimiento con punto final en el círculo unitario. La coordenada x es cos(a), la coordenada y es sin(a), una es el ángulo medido en sentido antihorario desde el eje x.

Fórmulas de mayoría pueden derivarse de este pequeño conjunto de herramientas bastante fácilmente.