¿Los poderes de 256 terminan todos por 6 y, en caso afirmativo, cómo probarlo?

Question

He calculado las 10 primeras potencias de 256 y me di cuenta de que todos ellos acaban por 6.

256^1 = 256
256^2 = 65536
256^3 = 16777216
256^4 = 4294967296
256^5 = 1099511627776
256^6 = 281474976710656
256^7 = 72057594037927936
256^8 = 18446744073709551616
256^9 = 4722366482869645213696
256^10 = 1208925819614629174706176

Mi intuición es que es el mismo para todos los poderes de 256 pero no puedo averiguar cómo demostrarlo, alguna sugerencia?

Mi intención era mostrar que la $\forall n$ hay un $k$ tal que $2^{8n} = k*10 + 6$, $k$ e $n$ ser enteros no nulos. Traté de descomponer el derecho de los estados en los poderes de $2$ pero que me deja pegado.

Answer 1

PS

Answer 2

En $\mathbb{Z}_{10}$ (los enteros moduo $10$ ) tenemos ese $6^2 = 6$ , un idempotente, por lo que todos sus poderes positivos también son $6$ . Y $256 \equiv 6 \pmod{10}$ .

Answer 3

Deje $P(n)$ ser la afirmación de que $6^n$ termina en $6$.

Entonces, evidentemente, $P(1)$ es cierto.

Si $P(n)$ es cierto, entonces no es difícil probar que también se $P(n+1)$ es verdadero (pruébelo usted mismo).

De acuerdo con el principio de inducción sobre números naturales nos permite concluir que $P(n)$ es verdadera para todo entero positivo.

Answer 4

Usando el teorema binomial $$256^n{\pmod {10}}=(250+6)^n{\pmod {10}}=6^n{\pmod {10}}.$ $ Ahora note que $$6^2{\pmod {10}}=36{\pmod {10}}=6{\pmod {10}}$$ and thus $ 6 ^ n {\ pmod {10}} = 6 {\ pmod {10}} $ , completando la prueba.

Answer 5

Podemos demostrarlo por inducción completa:

Para $n = 1$, tenemos $256^n = 256^1 = 256$, que termina con un $6$.

Ahora, vamos a $256^n$ final con un $6$, por lo que existe un entero $k \ge 0$ tal que $256^n = 10k+6$ y hemos

$$256^{n+1} = 256(10k+6) = 2560k+1536 = 10(256k+153)+6$$

Por lo tanto, $256^{n+1} = 10k'+6$ con $k'=256k+153$, y también lo $256^{n+1}$ termina con un $6$.