¿Qué álgebra es generada por$\mathrm{O}(2)$?

Question

La unidad de los números complejos pueden ser identificados con la $2 \times 2$ especial ortogonal de matrices $\mathrm{SO}(2)$. El problema con $\mathrm{SO}(2)$, sin embargo, es que no es cerrado bajo $\mathbb{R}$-de las combinaciones lineales. Para rectificar esto, podemos considerar el $\mathbb{R}$-álgebra generada por $\mathrm{SO}(2)$, es decir,$\mathbb{R}[\mathrm{SO}(2)]$, que resulta ser isomorfo a $\mathbb{C}$. Parece natural a jugar el mismo truco con $\mathrm{O}(2)$, y a ver lo que tenemos.

Pregunta. ¿Qué es $\mathbb{R}[\mathrm{O}(2)]$?

Si no es mucho pedir, también me gustaría saber lo $\mathbb{R}[\mathrm{SO}(3)]$ es. Voy a hacer otra pregunta si este no está respondida aquí.

Answer 1

Así, como se dijo, cualquier "número complejo" $\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$ es una de las combinaciones lineales de las rotaciones. Esto implica que cualquier matriz de la forma $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix}$ es una de las combinaciones lineales de productos de $\mathrm{diag}(-1,1)$ y una rotación, por lo que pertenece al espacio vectorial generado por $O(2)$ (que es la misma cosa como $\mathbb R[O(2)]$). Con estos dos tipos de matrices, es fácil llegar a todos los $2 \times 2$-matriz, por lo $\mathbb R[O(2)] = M_2(\mathbb R)$.

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EDIT: la pregunta acerca de la $\mathbb R[SO(n)]$ ha hecho ya serán contestadas en el MSE. Resulta que para $n \geq 3$, la respuesta es un poco decepcionante (desde su punto de vista): consigue todos los de $M_n(\mathbb R)$.

Answer 2

Tiene una secuencia exacta corta dividida $$ 0 \ a \ mathbb {R} [SO (2)] \ a \ mathbb {R} [O (2)] \ a \ mathbb {Z} / 2 \ a 0 $$ donde la acción del generador de$\mathbb{Z}/2$ sobre$\mathbb{C}$ sería por conjugación compleja. No estoy seguro de si hay una mejor descripción de esto, o si esto es suficiente para saciar tu curiosidad.

(No estoy seguro acerca de$\mathbb{R}[SO(3)]$)