Resolver una ecuación integro-diferencial particular:$g(x) = \int_1^x \frac{F(u)}{\sqrt{x^2-u^2}} \, du$

Question

Como el título dice: estoy interesado en los siguientes integro-diferencial de la ecuación. Deje $g:(1,\infty) \to [0,1]$, y asumen $g$ es suave. Quiero encontrar funciones de $F:[1,\infty) \to [0,1]$ que cumplan:

i) Para cada $x \in (1, \infty)$, $\displaystyle\int_1^x \frac{F(u)}{\sqrt{x^2-u^2}} \, du = g(x)$

ii) $F$ es no decreciente, a la derecha continua, $F(1) = 0$, e $\lim_{y \to \infty} F(y) = 1$, es decir, $F$ es un CDF apoyado en $(1,\infty)$.

La primera cosa a intentar es la diferenciación, pero esto no parece ir a ninguna parte: dado que el integrando $\frac{F(u)}{\sqrt{x^2-u^2}}$ golpes en $u = x$, no podemos (inmediatamente) pase de la derivada a través de la integral.

Lo siguiente es la integración por partes, que los rendimientos de

$\displaystyle g(x) = \frac{\pi}{2} F(x) - \int_1^x F'(u) \arctan\Big(\frac{u}{\sqrt{x^2-u^2}}\Big) \,du.$

(Algunas suposiciones adicionales son necesarios aquí: por ejemplo, que el $F$ es diferenciable.) Ahora uso la de Leibniz integral de la regla,

$\displaystyle g'(x) = \int_1^x \frac{F'(u)}{x\sqrt{x^2-u^2}} \, du.$

Pero esto no parece ayudar mucho.

Existen métodos estándar para este tipo de cosas? Hay alguna manera de hacer sentido de paso de la derivada en el interior de la integral?

Yo estaría feliz de ver un ejemplo de algunos de los $g$$F$) que satisfacen este: no tengo ejemplos de este tipo ahora mismo.

Answer 1

La ecuación integral \begin{equation} \int_1^x \frac{F(u)}{\sqrt{x^2-u^2}} \, du = g(x) \end{equation} es una variante clásica de la ecuación de Abel: \begin{equation} f(s)=\int_1^s\frac{y(t)\,dt}{\sqrt{s-t}} \end{equation} que tiene una solución \begin{equation} y(t)=\frac{1}{\pi}\frac{d}{dt}\int_1^t\frac{f(s)\,ds}{\sqrt{t-s}} \end{equation} Este resultado se puede comprobar por el pluging de esta solución en la ecuación integral.

El cambio de $t=u^2$ en el Abel de la ecuación integral, $2\sqrt{t}y(t)=F(u)$, $s=x^2$ y $f(s)=g(x)$, el problema es entonces \begin{equation} g(x)=\int_1^x \frac{F(u)}{\sqrt{x^2-u^2}} \, du \end{equation} su solución es \begin{align} \frac{F(u)}{2u}&=\frac{1}{\pi}\frac{d}{dt}\int_1^t\frac{g(x)\,ds}{\sqrt{t-s}}\\ &=\frac{1}{\pi}\frac{1}{2u}\frac{d}{du}\int_1^u\frac{2xg(x)\,dx}{\sqrt{u^2-x^2}} \end{align} y así \begin{equation} F(u)=\frac{2}{\pi}\frac{d}{du}\int_1^u \frac{xg(x)}{\sqrt{u^2-x^2}}\,dx \end{equation} En cuanto a la exigencia de $F(1)=0$, se puede demostrar mediante la expresión de la derivada, que (ver más abajo), para $u\to 1$, $$ F(u)\sim \frac{\sqrt{2}}{\pi}g(u)(u-1)^{-1/2}$$ then the condition imposes $g(u)=o\left(\sqrt{u-1}\right)$.

Como un ejemplo,$g(u)=\tfrac\pi2(u-a)$, se encontró $$ F(u)=\frac{1}{u}\frac{u^2-a}{\sqrt{u^2-1}}$$ y por lo tanto $F(1)=0$ si $a=1$, es decir, cuando se $g(1)=0$. Además, en este ejemplo, $\lim_{u\to\infty}F(u)=1$.

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Para evaluar la derivada \begin{equation} \frac{\pi}{2}F(u)=\frac{d}{du}\int_1^u\frac{xg(x)\,dx}{\sqrt{u^2-x^2}} \end{equation} primero vamos a cambiar la variable $x=uv$ expresó \begin{align} \frac{\pi}{2}F(u)&=\frac{d}{du}u\int_{\tfrac{1}{u}}^1\frac{tg(ut)}{\sqrt{1-t^2}}\,dt\\ &=\frac{1}{u}\int_1^u\frac{xg(x)\,dx}{\sqrt{u^2-x^2}}+\frac{1}{u}\int_1^u\frac{x^2g'(x)\,dx}{\sqrt{u^2-x^2}}+\frac{1}{u}\frac{g(1)}{\sqrt{u^2-1}} \end{align} Ambas integrales se desvanecen cuando $u=1$, el último término de $\sim \frac{g(1)}{\sqrt{2(u-1)}}$ al $u\sim 1$.