Transformaciones de calibre y derivados covariantes conmutan

Question

Me gustaría entender la declaración de

"Medidor de transformaciones y Colectivos derivados de viajar en campos en los que el álgebra es cerrado off-shell"

que fue tomado de la sección 11.2.1 (página 223) de Supergravedad por Freedman y Van Proeyen. En este texto los autores apoyo de esta declaración en la prueba de los siguientes $$\delta(\epsilon)\mathcal{D}_{\mu}\phi-\epsilon^A\mathcal{D}_{\mu}T_A\phi=0 \tag{1}$$ donde $\epsilon^A(x)$ es el medidor de parámetros para la simetría de la transformación generada por el operador $T_A$, $\delta(\epsilon)$ es un indicador de la transformación, $\mathcal{D}_{\mu}=\partial_{\mu}-B_{\mu}{}^{A}T_A$ es la derivada covariante y $B_{\mu}{}^{A}(x)$ es el medidor de campo correspondientes a cada uno mide la simetría.

Yo no tengo ningún problema a la hora de derivar el resultado $(1)$, pero no entiendo por qué el resultado $(1)$ es equivalente a la instrucción en el cuadro amarillo. En particular, ¿por qué es la declaración en el cuadro amarillo no es equivalente a $$\delta(\epsilon)\mathcal{D}_{\mu}\phi-\mathcal{D}_{\mu}\delta(\epsilon)\phi=0~?$$

Answer 1

Decir que la derivada covariante y el indicador de las transformaciones "viajar" es un poco descuidado expresión para la siguiente aclaración:

Dada una derivada covariante $D_\mu$ que transforma a $D'_\mu$ y un campo de $\phi$ que se transforma a medida $\phi' = U(\epsilon)\phi$ por debajo de un número finito de calibre de transformación de $U(\epsilon) = \mathrm{e}^{\epsilon^a T^a}$, se requiere que la transformación de $D_\mu \phi$ es igual a $U(\epsilon) D_\mu \phi$. En las fórmulas: $$ D'_\mu \phi' = UD_\mu\phi.$$

Infinitesimalmente, esto significa $$ \delta(\epsilon)(D_\mu \phi) = (\epsilon^a T^a) D_\mu \phi = \epsilon^a D_\mu(T^a\phi),$$ desde el infinitesimal versión de $D'_\mu \phi'$$\delta(\epsilon) D_\mu \phi$, por definición, y la infinitesimal de acción de $U$$D_\mu\phi$$(\epsilon^a T^a)D_\mu \phi)$. Esto es precisamente lo que Freedman y Van Proeyen espectáculo.