¿Los ultraproductos isomórficos de los modelos implican modelos isomórficos?

Question

Supongamos que tenemos dos modelos contables $\mathcal{M},\ \mathcal{N}$ de una teoría $T$ en una lengua contable $\mathcal{L}$ . Tomamos un ultrafiltro $U$ de $\aleph_0$ y encontrar que los ultraproductos

$$\mathcal{M}^{\aleph_0}/U \cong \mathcal{N}^{\aleph_0}/U$$

son isomorfas. Se puede demostrar que si $U$ es contablemente completa, entonces $\mathcal{M}\cong \mathcal{N}$ . ¿Debe existir este isomorfismo aunque $U$ no es contablemente completa?

Answer 1

No. De hecho, el célebre teorema de Keisler-Shelah nos dice que siempre que $\mathcal{M}$ y $\mathcal{N}$ son estructuras contables elementalmente equivalentes, existe un ultrafiltro $U$ en $\aleph_0$ tal que $\mathcal{M}^{\aleph_0}/U\cong \mathcal{N}^{\aleph_0}/U$ .

Por tanto, cualquier par de estructuras contables que sean elementalmente equivalentes pero no isomorfas proporciona un contraejemplo.

Por cierto, usted menciona el caso cuando $U$ es contablemente completa. Pero los únicos ultrafiltros contablemente completos en $\aleph_0$ son los principales ultrafiltros. Si se quiere un ultrafiltro no principal contablemente completo, hay que buscar ultrafiltros en $\kappa$ , donde $\kappa$ es un cardinal medible. E incluso entonces la implicación "ultrapoderes isomorfos implica isomorfos" es algo trivial, ya que si $\mathcal{M}$ es contable y $U$ es contablemente completa, entonces $\mathcal{M}^I/U\cong \mathcal{M}$ y tenemos $\mathcal{M}\cong \mathcal{M}^I/U \cong \mathcal{N}^I/U \cong \mathcal{N}$ .