Se supone que debo resolver la ODE$y^{\prime\prime}(x)-y(x)=g(x)$ usando la transformada de Fourier y luego explicar si obtuve la solución más general.
En primer lugar, no sé qué significa "resolver" aquí porque lo más lejos que puedo llegar es$$-\frac{\hat g(\omega)}{1+\omega^2}=\hat y(\omega)$$ which by the convlution theorem tells me $ y = - (g \ ast \ frac 12 e ^ {- | t |} ) $ y no veo que más puedo hacer.
En segundo lugar, no entiendo qué soluciones me faltan ... ¡Ayuda!
Tiene una solución: $$ - \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t) e ^ {- | tx |} dt $$ Esa solución funciona para una clase grande de funciones$g$, pero no es la solución más general porque puede agregar soluciones de$y''-y=0$. Así que una solución más general es $$ y (x) = A e ^ {x} + Be ^ {- x} - \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (t ) e ^ {- | tx |} dt, $$ donde$A$ y$B$ son constantes arbitrarias.
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