Encuentre los valores de las constantes en la siguiente identidad$2x^3+3x^2-14x-5=(ax+b)(x+3)(x+1)+C$

Question

Estoy trabajando con las identidades, pero no puedo averiguar cómo ir más allá de multiplicar lo anterior para obtener:

PS

¿Puede alguien darme una pista sobre qué hacer a continuación?

Answer 1

Buena suerte en la búsqueda de estas constantes! Deje $x=-1$. El lado derecho es $0$, y la mano izquierda no lo es.

Presumiblemente hay un error tipográfico. Una vez que se fija, podemos seguir.

Edit: lo anterior fue una respuesta a la pregunta antes de que existiera un $C$ a la derecha. A continuación es una solución del problema corregido.

Poner $x=-1$. A continuación, el lado derecho es $C$, y el lado izquierdo es $10$, lo $C=10$.

Poner $x=0$. El lado derecho es $3b+10$, el de la izquierda es $-5$. Por lo $3b+10=-5$, y ahora sabemos $b$.

Para $a$, el coeficiente de $x^3$ en el de la izquierda es $2$, y la de la derecha es $a$.

Ahora tenemos que comprobar que con el $a$, $b$, y $C$ hemos encontrado, la identidad de la que realmente tiene. Esto es necesario, por todo lo que hemos demostrado es que si hay $a$, $b$, y $c$ que satisfacen la ecuación, entonces $a$, $b$, $C$ debe ser calculado. Pero tal vez no hay $a$, $b$, $C$ con la propiedad deseada.

Comentario: la Multiplicación y la creación de un sistema de ecuaciones de llegar demasiado, pero es algo tedioso, y la probabilidad de error aumenta.

Answer 2

El borrado de respuesta por amWhy utiliza el polinomio de la división larga. Desde $(x+3)(x+1)= x^2+4x+3$, si realizamos el siguiente polinomio división larga

tenemos lo más pronto posible el cociente $2x-5=ax+b$, lo $a=2,b=-5$, y el resto $10=C$.

tiene usted algún consejo sobre el manchado para la utilización de este ?

Dados dos polinomios $A(x)$$B(x)$, con grado de $B(x)$ mayor que $0$, podemos encontrar otros dos polinomios $Q(x)$ $R(x)$ tal que $$A(x)=B(x)Q(x)+R(x),$$ and the degree of $R(x)$ is lower than the degree of $B(x)$.

En su caso $A(x)=2x^3+3x^2-14x-5$, $B(x)=x^2+4x+3$, $Q(x)=2x-5$ y $R(x)=10$.

Answer 3

Al expandir y agrupar términos semejantes, obtenemos: $$ \begin{align*} 2x^3+3x^2-14x-5&=(ax+b)(x+3)(x+1) +C\\ 2x^3+3x^2-14x-5&=(ax+b)(x^2+4x+3) +C\\ 2x^3+3x^2-14x-5&=(ax)(x^2+4x+3)+b(x^2+4x+3) +C\\ 2x^3+3x^2-14x-5&=(ax^3+4ax^2+3ax)+(bx^2+4bx+3b) +C\\ 2x^3+3x^2-14x-5&=(a)x^3+(4a+b)x^2+(3a+4b)x+(3b+C) \end {align *} $$

Ahora vamos a comparar los coeficientes . En particular, enfóquese en los coeficientes de$x^3$,$x^2$ y$x^0$ (el término constante). De esto, obtenemos: $$ \begin{align*} x^3 &: \boxed{2=a} \\ x^2 &: 3 = 4a+b \implies b = 3-4a=3-4(2) \implies \boxed{b=-5} \\ x^0 &: -5=3b+C \implies C=-5-3b=-5-3(-5) \implies \boxed{C=10} \end {align *} $$

Answer 4

Sugerencia: mire los coeficientes en$1$ y$x^3$.