Los ordinales son todavía bien ordenado, incluso sin el axioma de elección, y que todavía están bien fundadas. Esto significa que un espacio topológico $\alpha+1$ es muy compacta, y si $\alpha$ es un ordinal límite, a continuación, $\alpha$ todavía no compacto.
La compacidad secuencial habla sobre contables subconjuntos, por lo que si tomamos $\omega_1$ es cerrado bajo contables límites y por lo tanto secuencialmente compacto, sino como un límite ordinal no es compacto. Tenga en cuenta que para que eso sea cierto tenemos que asumir un poco de la elección - es decir $\omega_1$ no es un contable de la unión de contables de los números ordinales.
Sin el axioma de elección que podemos tener extraño y muy interesante, contraejemplos, sin embargo. Uno de ellos es un infinito Dedekind-conjunto finito de números reales. Tal conjunto no puede ser cerrada en los números reales, por lo que no puede ser compacto. Sin embargo, cada secuencia tiene una convergente larga porque cada secuencia tiene sólo un número finito de elementos distintos.
Hay una sección en Herrlich del Axioma de Elección en el que se explica cómo la compacidad se comporta sin el axioma de elección. Un ejemplo muy interesante es que en ZFC compacidad es equivalente a ultrafilter de compacidad, que es cada ultrafilter converge.
Sin embargo, considerar un modelo en el que cada ultrafilter $\mathbb N$ es la directora. En el modelo como los números naturales con la topología discreta son ultrafilter compacto, ya que cada ultrafilter contiene un singleton. Sin embargo es claro que los únicos formar una cubierta abierta sin finito subcover.
