¿Por qué es útil la covarianza?

Question

Hay un número de temas relacionados con la covarianza en este sitio. Lo que yo estoy teniendo problemas para comprender: ¿por qué es la covarianza de una cosa útil para calcular?

Tal y como yo lo veo, la covarianza no es útil la estadística. Es difícil de interpretar y que no es en todos los estandarizados (como el de correlación). Se puede calcular en dos variables totalmente diferentes sistemas de medición.

¿Alguien tiene un ejemplo que podría ayudar a dilucidar la necesidad de calcular la covarianza? Es simplemente un medio para un fin, en el cálculo de los parámetros de la regresión?

Answer 1

Matriz de covarianza contiene más información de la matriz de correlación:

• Se puede derivar una matriz de correlación a partir de una matriz de covarianza.
• Pero no se puede derivar una matriz de covarianza utilizando sólo una matriz de correlación! (Usted también tendría las desviaciones estándar.)

Las matrices de covarianza contienen toda la información de: (i) una matriz de correlación de signo más (ii) una desviación estándar de vectores. En cierto sentido, las matrices de covarianza son los más compacto, conveniente matemáticamente objeto de trabajo.

Otro ejemplo de uso de la covarianza:

Me voy a llevar una simple finance ejemplo que no, obviamente, la participación de regresión:

• Vamos a no ser $n$ posible activos de inversión.
• Deje $\Sigma$ ser la matriz de covarianza de la $n$ activos.
• Deje $w$ ser un vector que denota la cartera de pesos en la $n$ activos.

Luego de la cartera de la varianza está dada por la ecuación de matriz: $$ w^\top \Sigma w $$

Usted no puede escribir esta fórmula esta manera sucinta el uso de una matriz de correlación.

Una cartera que minimiza la varianza sería una solución para: $$ \begin{align*} \text{minimize (over $w$) } \quad w^\top \Sigma w \\ \text{ subject to: }\quad\quad \quad w^\top 1 = 1 \end{align*}$$

Nota: este sería el mismo, como la minimización de la desviación estándar de la rentabilidad de la cartera.

La covarianza resulta ser un lugar omnipresente concepto para cualquier problema que involucra a dos o más variables aleatorias. Se trata de todo sobre el lugar. Mejor empezar a acostumbrarse a ella!

Answer 2

Todo depende de la forma de escribir los parámetros en cuestión cuando describiendo una regresión lineal.

Para variables aleatorias $X$$Y$, la mejor (en el sentido de lineal mínimo-mean-square error) estimación de $Y$ en términos de $X$ es comúnmente escrito como $$\hat{Y} = \rho\frac{\sigma_Y}{\sigma_X} (X-\mu_X) + \mu_Y\etiqueta{1}$$ y, a continuación, se afirma que $\rho^2$ es la fracción de $\sigma_Y^2$ que se ha "explicado" por $X$. Todo esto hace que obtener todo de quicio y declarar que la covarianza es totalmente inútil concepto. Pero algunas personas (no muchas) como para escribir $(1)$

$$\left(\hat{Y} -\mu_Y\right) = \left.\a la izquierda. \frac{\operatorname{cov}(Y,X)}{\operatorname{var}(X)} \right(X-\mu_X\right)\etiqueta{2}$$

y decir que la desviación de la estimación $\hat{Y}$ de su media y la desviación de $X$ de su significa tener la misma relación como la covarianza de $X$ $Y$ y la varianza de la $X$, mientras que la varianza explicada es sólo $\displaystyle \frac{\operatorname{cov}^2(Y,X)}{\operatorname{var}(X)}$. ¿Estaría usted dispuesto a escuchar a un argumento de ellos que es la covarianza, que es el más fundamental de concepto y que el coeficiente de correlación es sólo un galimatías de poco interés? ¿Por qué, no puede hacer su mente si su el primer nombre de Pearson o de Spearman!