Pregunta sobre la técnica de inducción.

Question

Cuando se usa la inducción (por ejemplo, en$n$) para probar algo, ¿significa que la prueba se mantiene para todos los valores finitos de$n$ o siempre se mantiene cuando incluso$n$ toma$\pm\infty$?

Answer 1

Si n es un número natural, n nunca puede tomar$\infty$ porque$\infty$ no es un número natural. Por lo tanto, la afirmación probada solo está realmente probada para valores finitos de n. Cuando la gente dice que "se cumple cuando n va a$\infty$", lo que están diciendo es que la afirmación es válida para números naturales arbitrariamente grandes, que todavía son finitos.

Answer 2

Las pruebas inductivas regulares solo funcionan sobre$\mathbb{N}$, el conjunto de números naturales. La prueba de que "las pruebas inductivas funcionan" depende de la propiedad de ordenamiento de$\mathbb{N}$ y$\infty \not\in \mathbb{N}$. Como han señalado las personas en los comentarios, la inducción también puede extenderse a otros conjuntos bien ordenados. En cualquier caso, no tiene sentido preguntar si una declaración se mantiene en$\infty$.

Answer 3

No tiene sentido decir que "$n$ toma$\pm \infty$" siempre que$n\in \mathbb{N}$ simplemente porque$\pm \infty \not \in \mathbb{N}$. Entonces, si$n$ es finito, entonces el Principio de Inducción dice que se puede alcanzar el entero$n$ a partir de$1$ (si existe la Base de Inducción) en un número infinito de pasos, aunque sea grande. Por lo tanto, se afirma que para todos los$n\in \mathbb{N}$ se mantiene la proposición, que como corolario nos da la conclusión de que la proposición se mantiene para todos los $n$ finitos ya que cualquier$n$ finito es miembro de$\mathbb{N}$.

Answer 4

La inducción matemática se basa en dos propiedades de los números naturales. Ellos son el Bien con el Ordenamiento de la propiedad (cada no-vacío subconjunto de los números naturales tiene al menos un elemento) y el hecho de que cada elemento tiene un sucesor.

Si deseamos establecer una proposición $P(n)$ es cierto para cada una de las $n \in \mathbb{N}$ tal que $n \geq n_0$, se debe establecer en primer lugar que el $P(n_0)$ sostiene, la cual establece que el conjunto de $S = \{n \in \mathbb{N}|~P(n)~\text{holds}\} \neq \emptyset$. A continuación mostramos que $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$, lo que demuestra que si $n \in S$, entonces su sucesor $n + 1 \in S$. Desde $n_0 \in S$, el hecho de que $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$ por cada $n \in S$ nos permite concluir que $n_0, n_0 + 1, n_0 + 2, \ldots \in S$. Por lo tanto, $S = \{n \in \mathbb{N}|~n \geq n_0\}$. Sin embargo, no demuestra que el $\infty \in S$ desde $\infty$ no es el sucesor de ningún número natural.

Answer 5

Queremos que la inducción quiera mostrar que$n$ y$n+1$ satisfacen la ecuación. Sin embargo,$n$ solo puede definirse por el conjunto de todos los números naturales$\mathbb{N}$ y solo puede ser válido para valores finitos. Por lo tanto, no se puede llevar a$\infty$ porque$\infty$ es infinito y$n$ es finito . Esto también depende de la propiedad bien ordenada. Además, podemos observar que$\infty\notin\mathbb{N}.$