La interpretación de los ideales de un anillo.

Question

Los ideales de un anillo conmutativo (sólo he estudiado la conmutativa caso) son considerados como generalizado de los números (en teoría algebraica de números) y como anillo homomorphisms (a través del ideal como núcleo de la formulación). Hay alguna manera de identificar estas dos interpretaciones? Tal vez uno podría identificar el producto y la suma de las operaciones sobre los ideales con algunas operaciones en el homomorphisms?

Uno podría tener que restringir los anillos estamos buscando para obtener algunos interpretación significativa, pero que está bien.

Answer 1

Los ideales no son generalizadas números
Es cierto que los ideales se introdujeron por Dedekind como "los números ideales" para restaurar la única factorización en ciertos anillos en el que falla.
Estos anillos son ahora llamados anillos de Dedekind y, de hecho, se trata de un fructífero punto de vista para tratar ideales en estos anillos generalizado de los números.
Sin embargo, estos anillos tienen dimensión de Krull $1$ y son muy especiales.
Es completamente imposible para el tratamiento de los ideales, en general, los anillos de números: por ejemplo, no tiene ningún sentido decir que el ideal de $I=\langle x^2+y^2+z^2, x^3+y^3+z^3\rangle\subset \mathbb C[x,y,z]$ tiene nada que ver con un generalizada número.

Los ideales son variedades !
En la década de 1950 Grothendieck introdujo un maravilloso punto de vista de la geometría algebraica que nos permite considerar cualquier anillo conmutativo $A$ como una entidad geométrica se llama el esquema afín $\operatorname {Spec}(A)$.
Se generaliza el clásico variedades algebraicas y en esta visión de los ideales $I\subset A$ corresponden exactamente a los subobjetos, llamado subschemes, $V(I)\subset \operatorname {Spec}(A)$ .

La suma de los ideales exactamente corresponde a la intersección de subschemes: $V(I+J)=V(I)\cap V(J)$ y el producto de ideales corresponde exactamente a la unión de subschemes: $V(I\cap J)=V(I)\cup V(J)$.
El producto $I\cdot J$ de los ideales es un poco más difícil de interpretar y debe ser pensado como ceder alguna aproximación de la unión de subschemes: $V(I\cdot J)\cong V(I)\cup V(J)$

Por último, en el ejemplo que mencioné más arriba $ \operatorname {Spec}(\mathbb C[x,y,z])$ debe ser pensado como el espacio vectorial $\mathbb C^3$ $V(I)$ como la curva en la que el espacio vectorial definido por las ecuaciones $x^2+y^2+z^2=0$, $x^3+y^3+z^3=0$ .

Answer 2

La suma de los ideales, al menos, tiene una categoría de interpretación: Se corresponde con el pushout de la epimorphisms que los dos ideales de ser añadido corespond.

Tiene un anillo de $R$ con los ideales de la $\mathfrak I$ $\mathfrak J$ y canónica homomorphisms $\pi_1:R\to R/\mathfrak I$$\pi_2:R\to R/\mathfrak J$.

Entonces, cuando usted tiene un homomorphism $f:R\to S$ que factores a través de $\pi_1$ $\pi_2$ por separado (es decir,$f=g_1\circ\pi_1$$f=g_2\circ\pi_2$), $f$ también factores de forma exclusiva a través de la canónica homomorphism $R\to R/(\mathfrak I+\mathfrak J)$. Y esto caracteriza $R/(\mathfrak I+\mathfrak J)$ hasta isomorfismo.

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(Por supuesto, sin embargo, usted debe tener cuidado de que esta no acaba de conectar con "ideales como generalizada de los números": La suma de los principales ideales no es el principal ideal generado por la suma de los generadores).