¿Cómo calcular explícitamente el functor Nakayama?

Question

Estoy leyendo el libro de los Elementos de la teoría de representaciones de álgebras asociativas, volumen 1. Tengo algunas preguntas relacionadas con el Nakayama functor. En la página 113-114 del libro, la de Auslander-Reiten traducción de $\tau M$ de un módulo de $M$ de la ruta de álgebra de la Kronecker carcaj $Q=1\underset{\beta}{\overset{\alpha}{\Leftarrow}} 2$ se calcula. El módulo de $M$ está definido por $K \underset{0}{\overset{1}{\Leftarrow}} K$.

Se dice que una mínima proyectiva presentación de $M$ está dado por $$ 0 \a P(1) \desbordado{p_1} {\,} P(2) \desbordado{p_2} {\,} M \0, $$ donde $$P(1)=S(1)= (K \underset{0}{\overset{0}{\Leftarrow}} 0), \quad P(2)= (K^2 \underset{\left( \begin{matrix}0 \\ 1\end{matrix} \right)}{\overset{\left( \begin{matrix}1 \\ 0\end{matrix} \right)}{\Leftarrow}} K).$$

Sabemos que una base de $K^2$$P(2)$$K\alpha\oplus K\beta$. La base de la $K$$P(1)$$K \varepsilon_1$. El mapa de $p_1$ $P(1)$ $P(2)$es $$ \begin{matrix} K & \underset{0}{\overset{0}{\Leftarrow}} & 0 \\ f \downarrow & & \downarrow g \\ K^2 & \underset{\left( \begin{matrix} 0 \\ 1\end{de la matriz} \right)}{\desbordado{\left( \begin{matrix}1 \\ 0\end{de la matriz} \right)}{\Leftarrow}} & K \end{matriz} $$ Dado que el dominio de $g$$0$, debemos tener $g=0$. Cómo calcular el mapa de $f$? Qué $f$ enviar $\varepsilon_1$ $\alpha$o $\beta$ o $0$?

Si sabemos que el mapa de $f$, entonces sabemos que el mapa de $p_1$. Cómo calcular $\nu p_1$? Donde $\nu=DHom_A(\cdot, A)$ es el Nakayama functor.

Sabemos $I(1)$$I(2)$. Si sabemos que el mapa de $\nu p_1: I(1) \to I(2)$, de cómo calcular el núcleo de $\nu p_1$? Sé que el núcleo de $\nu p_1$ debe ser de la forma $K \underset{h_2}{\overset{h_1}{\Leftarrow}} K$. Pero no sé cómo demostrar que $h_1=1$$h_2=0$. Muchas gracias.

Answer 1

Para tu primera pregunta, $f$ está dado por $\epsilon_1\mapsto \beta$, o, equivalentemente, $p_1:\epsilon_1 x \mapsto \beta x$ cualquier $x\in kQ$. Usted sólo tiene que mirar en su diagrama de tiempo suficiente para darse cuenta de esto...tenga en cuenta que las plazas han de desplazarse. Por lo general prefieren la informática en el (tipo de) Loewy forma de diagrama, como el álgebra es básico y el campo, de manera que todas simples son de 1 dimensiones) es algebraicamente cerrado. Esta técnica que se puede demostrar de la siguiente manera. Giro su secuencia exacta en Loewy diagrama: $$ 0 \1 \a \left(\begin{array}{ccc} & 2 & \\ & \swarrow \searrow & \\ 1 & & 1 \end{array}\right) \a \left(\begin{array}{c} 2 \\ {\scriptsize 1}\Downarrow {\scriptsize 0} \\ 1 \end{array}\right) \a 0 $$ Cada número aquí denotar la composición de los factores (módulo sencillo), así por ejemplo, el medio $P(2)$, tiene la composición del factor de $S(2)$ en la parte superior, y dos copias de $S(1)$ en la parte inferior; en el lado izquierdo de la flecha corresponde a la multiplicación por $\alpha$ a la derecha, el lado derecho de la flecha corresponde a la multiplicación por $\beta$. Así que usted puede ver la parte superior $S(2)$ $P(2)$ se asigna a la parte superior $S(2)$$M$, y el lado izquierdo $S(1)$ en el zócalo de $P(2)$ se asigna a $S(1)$ en el zócalo de $M$, porque necesitamos flechas en el medio para que coincida (correspondientes a los desplazamientos de la plaza). Así que ahora la cosa en $P(2)$ que no ha sido asignada (es decir, el núcleo) es la mano derecha $S(1)$ en el zócalo. Por lo que el mapa en el que quieres es el mapa $S(1)$ a mano derecha $S(1)$, es decir, dado por $\epsilon_1 x\mapsto \beta x$.

Normalmente, usted tendría para calcular $DHom_A(X,A)$ explícitamente a ver lo de los mapas, mapas resultantes parecen. A veces, podemos simplemente "inteligente adivinar", porque los mapas (ind) proyectiva (ind) inyectiva ", de manera compatible". Por la descripción de la inyectiva módulos (esto es, en la proposición anterior en el libro), $\nu(S(1)\to P(2))= I(1) \to I(2) = D( \epsilon_1 A \to \epsilon_2 A) $ ha Loewy diagrama $$ \left(\begin{array}{ccc} 2 & & 2\\ & \searrow \swarrow & \\ & 1 & \end{array}\right) \2 $$ donde la mano izquierda de las flechas correspondientes a "multiplicar $\alpha$ a la izquierda, antes de tomar $K$-lineal dual $D$". "La compatibilidad" significa que el mapa de $\nu p_1$ está dado por $D(x \beta \to x \epsilon_2)$, es decir, para asignar el lado derecho de la composición del factor de $S(2)$ en la parte superior de $I(1)$$I(2)=S(2)$. Por lo tanto, el núcleo, puede ser visto desde la combinatoria fácilmente, está dada por "la eliminación de la parte derecha del diagrama de $P(2)$": $$ \begin{array}{c} 2 \\ {\scriptsize 1}\Downarrow{\scriptsize 0} \\ 1 \end{array} $$ tan sólo es $M$ sí.