Deje que$K$ sea el conjunto Cantor habitual,$Q=K\times K$ y$z_{n,k}$ los centros de los$4^n$ cuadrados del n-ésimo paso en la construcción de$Q$. En algunos apuntes que leí, se dice que no hay pruebas de que la secuencia$$g_n(z)=4^{-n}\sum\limits_{k=1}^{4^n} (z-z_{n,k})^{-1}$$ converges to a function $ g$ which is continuous on $ S ^ 2$ and holomorhic off $ Q$. The only thing that challenges me is the continuity of $ g$ on the points of $ Q $. ¿Algunas ideas?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una manera de mirar, dejando una gran cantidad de detalles:
Hay una discreta de probabilidad de medida $\mu_n$ tal que $$g_n=K*\mu_n,$$where $K(z)=1/z)$. These measures have a weak limit $\mu$, which is the "uniform measure" on $P$. So at least away from $Q$, the limit is $$g(z)=\mu*K(z).$$
Ahora, esta medida tiene la propiedad de que $$\mu(D(z,3^{-n}))\le c4^{-n}.$$Which for a warmup you can use to show that $\mu*|K|$ is bounded. In fact if you write $K=\sum K_n$ where $K_n$ is continuous and roughly speaking supported near $|z|=3^{-n}$ then $\mu*K_n$ is continuous and you can use that estimate on $\mu$ to show $\sum\mu*K_n$ converge uniformemente.
Editar Para mostrar el $\mu*|K|$ es limitada: en Primer lugar, vamos a $K'(z)=K(z)$ $|z|<1$, $0$ para $|z|\ge1$. Es suficiente para demostrar que $\mu*|K'|$ está acotada. Vamos $$A_n=\{z:3^{-n-1}\le|z|<3^{-n}\}.$$Then $$|K'|\le c\sum_{n=0}^\infty3^{n}\chi_{A_n},$$so $$\int |K'|\,d\mu\le c\sum 3^{n}\mu(A_n) \le c\sum 3^{n}\mu(D(0,3^{-n}))\le c\sum 3^n4^{-n}<\infty.$$That gives a bound on $\mu*|K'|(0)$; el mismo límite se aplica en cada punto, con el mismo argumento.
Para obtener la continuidad, considere en su lugar $\sum \phi_n$ donde $\phi_n$ es continuo y se apoyó en $\{3^{-n-2}<|z|<3^{-n}$, e $\sum\phi_n=K'$ cerca del origen. Cada una de las $\mu*\phi_n$ es continua, y argumentando como anterior muestra que el $\sum\mu*\phi_n$ converge uniformemente, en el hecho de $||\mu*\phi_n||_\infty\le c(3/4)^n$.
