Cómo integrar$\int e^{-t^{2}} \space dt $ usando métodos de cálculo introductorios

Question

El día de hoy me topé con esto cuando yo estaba haciendo algunas preguntas de práctica para un curso de física: $$\int e^{-t^2} \space dt $$

Para ampliar los límites de integración eran algo así como la $1$ $4$ (era sólo una función de la velocidad de la necesaria para ser integrados para encontrar la distancia no fue un conocido integral como $\int_0^\infty e^{-t^2} \space dt$.)

Basado en Wolfram|Alpha, parece que no puede ser expresado en la escuela primaria términos (es decir, consiste en la función de error.) Tenga en cuenta que las preguntas que implicaba el uso de una calculadora, así que fue capaz de integrar a la función utilizando un CAS con facilidad, pero me estoy preguntando cómo hacerlo a mano. Por lo tanto, me preguntaba si no era, posiblemente, una forma de evaluar la integral utilizando métodos de primaria a partir de un cálculo de uno o dos curso (lectura: no hay análisis complejo). Pensé que tal vez puede ser una solución primaria (no sé qué tipo de algoritmo de Wolfram utiliza para evaluar las integrales - he visto fácil evaluar las integrales en un montón de pasos antes).

Answer 1

La función de error se define como

$$\operatorname{erf}(x)=\frac 2 {\sqrt \pi}\int_{0}^x e^{-t^2}dt$$

No es una función primaria. Pues a partir de la definición es inmediata (FTCI) que

$$\operatorname{erf}'(x)=\frac 2 {\sqrt \pi}e^{-x^2}$$

la primitiva de $e^{-x^2}$ es expresable como la

$$\int e^{-x^2} dx =\frac{\sqrt \pi}{2}\operatorname{erf}(x)-C $$

desde cualquiera de las dos primitivas de una función de $f$ difieren por una constante (FTCII)

Como consecuencia de su primitiva no puede ser expresado en términos de funciones elementales.

Answer 2

Su única esperanza es repartir los primeros términos de su desarrollo en serie de Taylor. Acaba de sustituir a $-t^2$ en la exponencial de la serie de $1 + x+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} +\frac{x^4}{4!}$ tan lejos como usted puede estar parado. Cuando usted hace su sustitución, tendrá un alternando suma, que tiene algunas propiedades especiales para ayudarle a evaluar su error...y no habrá error. No hay manera de evitarlo, a menos que como usted dijo conveniente tener límites como $0$ $+\infty$que ya se mencionó. Buena Suerte! Esto es sólo una menos intenso de la ruta que convenientemente se evita el uso de fer.

Answer 3

Como otros han dicho, no hay forma integrada en funciones elementales.

Usted podría utilizar el trapecio regla (T), o la regla de Simpson (S);

o usted podría utilizar la integración de Romberg: Comience con (T), con un adecuado número de subintervalos, por ejemplo, 5, 10, 20 -- en este caso, 15, sería de ayuda, debido a la longitud del intervalo. Llame el resultado T11.

Doble el número de tiras, y calcular T21 de la misma manera. (Sólo es necesario calcular la en-entre las coordenadas!)

A continuación, vamos a T22 = (4*T21 - T11) / 3. Doble de nuevo, para llegar T31; luego T32 = (4*T31 - T21) / 3;
y T33 = (4^2 * T32 - T22) / (4^2 - 1) Continuar de esta manera hasta que Tnn = t(n-1)(n-1).

Pruébalo en una forma sencilla de comprobar que funciona, por ejemplo, ∫ 1/(1 + x^2) = arctan x + c

Tenga en cuenta que debe funcionar a la perfección para una expresión cuadrática en T22, (y para un cúbicos) debido a que el segundo nivel es la regla de Simpson.

Utilizar una hoja de cálculo para los cálculos!