Es sólo una idea (podría ser incorrecto) , pero creo que si un espacio de Hausdorff, decir $X$, contiene muchos elementos, entonces un subconjunto contable no puede ser denso en ella.
¿Existe una cardinalidad que cualquier cardinalidad del espacio con el (o más grande) no puede tener un subconjunto denso contable?
Gracias.
El máximo número posible de cardinalidad de un separable espacio de Hausdorff es $2^{2^{\aleph_0}}$.
Deje $X$ ser separable espacio de Hausdorff y deje $A$ ser una contables subconjunto denso de $X$. Definir una función $f:X\to\mathcal P(\mathcal P(A))$ mediante el establecimiento $f(x)=\{B\subseteq A:x\in\overline{B}\}$. Utilizando el hecho de que $X$ es Hausdorff, es fácil ver que $f$ es inyectiva, donde $|X|\le|\mathcal P(\mathcal P(A))|\le2^{2^{\aleph_0}}$. (El Hausdorff separación axioma no puede ser sustituido por el T$_1$ aquí; un conjunto arbitrario con el mínimo de T$_1$ topología es una separables T$_1$-espacio.)
El producto de la continuidad de muchos espacios separables es separable. En particular, entonces, el producto de $2^{\aleph_0}$ copias del espacio discreto $\{0,1\}$ es un separables compacto Hausdorff espacio de cardinalidad $2^{2^{\aleph_0}}$.
La Piedra-Čech compactification de $\mathbb N$ es otro ejemplo famoso de un separables compacto Hausdorff espacio de cardinalidad $2^{2^{\aleph_0}}$.
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