Si$f^2=f$, entonces$f$ es de rango constante.

Question

Deje que$f$ sea una función continua desde$[0,1]$ al conjunto de matrices$n\times n$, es decir,$M(n\times n,\mathbb{R})$, de manera que$f(t)^2=f(t)$ para todos$t$. Luego,$f(t)$ tiene un rango constante para todos los$t$.

Lo único que pude adivinar concluyó aquí que$f(t)$ tiene dos valores propios, a saber,$0$ y$1$ con el polinomio mínimo$x^2-x$, como si el polinomio mínimo fuera$x$ o$x-1$, hemos terminado.

Ahora, ¿qué hacer después?

Answer 1

Tome el rastro de$f(t)$. Es continuo por un lado y es la suma del valor propio$1$ 's por otro lado, que es solo el rango de$f(t)$.

Answer 2

Una forma de hacerlo es la siguiente: Una matriz cuadrada $A$ actuando en un espacio lineal $V$ $A^2 = A$ es diagonalizable con $V = \ker A \oplus \operatorname{img} A$. Ver wikipedia en proyectores.

Siguiente cosa que usted necesita saber es que usted puede escribir una base del núcleo de una matriz utilizando polinomios de la matriz de entradas. (Creo que usted puede conseguir esto de la regla de Cramer solo, pero también se puede ver esto mediante el uso de eliminación de Gauss, el cual continuamente se mete una matriz, y la extracción de una base para el núcleo de una matriz a partir de su estricta escalonada). Esto implica que usted puede encontrar una base de vectores propios de una matriz diagonalizable que varía exponencialmente en las entradas de la matriz debido a una base de vectores propios para el subespacio propio de un determinado valor propio es en realidad una base del núcleo de la característica de la matriz con la que autovalor conectado.

Por lo tanto, usted puede encontrar una continua mapa de $g \colon ℝ → \operatorname{GL}_{n×n}(ℝ)$, de tal manera que $g(t)^-{1}f(t)g(t)$ es la diagonal para todos los $t ∈ ℝ$. Ahora $g^{-1}fg$ también es continua y tiene rango constante si y sólo si $f$.

Así que sin pérdida de por lo general, usted puede asumir que $f$ es constantemente diagonal con sólo posible autovalores $0$$1$. Así que ...

Pero, sí, lo que sea: Mirando la traza es la forma más fresco.