Matemáticas detrás del partido de juego de palo en La Meta

Question

Acabo de terminar de leer La Meta por Eliyahu M. Goldratt. Es un buen libro, y a mi entender, bastante bien conocida. Goldratt es un físico que volvió a su escrutinio científico a la producción de la línea de gestión, y su libro es acerca de cómo el pensamiento matemático puede ayudar a su negocio.

En él describe un juego para ilustrar el flujo de una línea de producción. Va como esto:

Hay cinco personas sentadas en una línea con un par de cajas de cerillas en uno de los extremos. El objetivo es mover la mayor cantidad de partidos para el final de la línea. En un turno, la primera persona en la línea de rollos de seis caras dado y mueve ese número de partidos hacia abajo de la línea. La siguiente persona, a continuación, tira el dado y mueve ese número de partidos hacia abajo de la línea, y así sucesivamente. Que una vez. Usted repita este proceso un número determinado de veces y luego contar el número de partidos que se ha pasado todo el camino a través de ("throughput") y el recuento de los partidos que están todavía sentado entre la gente que espera para ser movido ("inventario"). Desea maximizar el rendimiento y minimizar la acumulación de inventario.

Para ser explícitos, si en el primer turno del primer jugador saca un 4 y en el segundo jugador saca un 6, que sólo puede moverse a 4 porque solo hay 4 disponibles para moverse. Pero si hay más partidos de espera en el inventario (quizá porque la persona antes de que ellos se está de alta rollos al mismo tiempo que han sido baja en rollos), luego se toman de esa pila. Así que si hay 2 ya en el inventario, el jugador 1 lanza un 4 y el jugador 2 rollos de 6, hay 6 partidos disponibles, por lo que puede mover todos 6 abajo de la línea.

Con suerte, eso está claro. Aquí está la pregunta, o más bien preguntas:

• ¿Cuál es el valor esperado de rendimiento después de $n$ vueltas?
• ¿Qué acerca de la esperada inventario de espera para cada persona después de $n$ vueltas?
• ¿Cómo el número de personas que afectan a estos valores?
• ¿Y si los dados son más abstractos, como un 17 colindado mueren con cuatro 6s, tres 12s, etc. Sólo un resumen de distribución de probabilidad?
• ¿Qué acerca de un valor esperado de la cantidad de rollos que se "desperdicia"? Entonces, si hay 2 en el inventario y se rodó un 5, que sería de 3 unidades de "wasted"
• Podemos encontrar más detalles acerca de la distribución, en lugar de sólo el valor esperado?

Answer 1

No veo una manera fácil de simplificar esta para rondas posteriores, de modo que lo que sigue está basado en los cálculos de

En la primera ronda

• el número esperado de la $n$th persona pasa a se $\frac{1^n+2^n+3^n+4^n+5^n+6^n}{6^n}$, que para las cinco primeras son sobre $3.5$, $2.53$, $2.04$, $1.76$ y $1.57$ respectivamente, que tiende a la $1$ $n$ aumenta. La diferencia entre la primera y la última de alrededor de $1.93$ que se espera que el desperdicio

• las cantidades esperadas de la izquierda entre el $n-1$th y $n$th la gente es la diferencia entre estos, es decir,$\frac{1\times 5^n + 2\times 4^n + 3\times 3^n + 4\times 2^n + 5\times 1^n}{6^n}$, que para las primeras brechas se acerca $0.97$, $0.49$, $0.29$, $0.19$, que tiende a la $0$ $n$ aumenta. Como es de esperar, estos ascienden a cerca de $1.93$ total desperdicio de tan lejos

• las probabilidades de $n$th persona que pasaba $k$$\frac{(7-k)^n-(6-k)^n}{6^n}$$1 \le k \le 6$. Así que para la quinta persona que estas son las $1$ con una probabilidad de alrededor de $0.60$, $2$ con probabilidad acerca de $0.27$, $3$ con probabilidad acerca de $0.10$, $4$ con probabilidad acerca de $0.03$, $5$ con probabilidad acerca de la $0.004$ $6$ con una probabilidad de alrededor de $0.0001$, y el aumento de la $n$ concentra la probabilidad en $1$ se pasa

En el $r$th ronda (para $r$)

• el número esperado de la $n$th persona que pasa se acerca más a los dados media de $3.5$. Sospecho que la diferencia esperada (es decir, la cantidad esperada perdido por esa persona y sus predecesores) podría ser aproximadamente proporcional a $\frac{1}{\sqrt{r}}$

• las cantidades esperadas de la izquierda entre las personas es en efecto la espera acumulativa desperdicio de todas las rondas anteriores, y por lo que sospecho que podría ser aproximadamente proporcional a ${\sqrt{r}}$, es decir el aumento sin límite

• la distribución de las cantidades aprobadas por la $n$ persona sigue a tener valores inferiores más comunes que los valores más altos, pero tiende a estar más cerca de la igualdad en la distribución de $\frac16$ para cada valor

Por ejemplo, en el $100$th ronda, mi desactivada cálculos sugieren

• el número previsto de las cinco personas de paso se acerca $3.5$, $3.40$, $3.28$, y $3.23$ respectivamente, dando un total combinado de espera desperdicio de alrededor de $0.27$ en esa ronda

• las cantidades esperadas de la izquierda entre la gente después de que la ronda se acerca $17.94$, $12.28$, $9.63$ y $8.04$, para un total combinado de espera acumulado pérdidas de alrededor de $47.89$

• la quinta persona pasa a $1$ con una probabilidad de alrededor de $0.20$, $2$ con probabilidad acerca de $0.19$, $3$ con probabilidad acerca de $0.18$, $4$ con probabilidad acerca de $0.17$, $5$ con probabilidad acerca de la $0.14$ $6$ con una probabilidad de alrededor de $0.12$

También se preguntó sobre el uso de diferentes dados. Es evidente que esto iba a cambiar los números, pero dudo de que los cambios de los patrones generales