Deje $\mathbb{G}_m$ el grupo multiplicativo, con coordenadas anillo de $\mathbb{C}[x^{\pm 1}]$, que se considera como una gavilla de abelian grupos de más de $\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}$ en la topología de Zariski. Deje $X$ ser otro complejo esquema (estoy interesado en $X$ siendo un suave proyectiva variedad, pero creo que no importa de todos modos). Denotar por $p$ la estructura de morfismos de $X$$\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}$.
Hay dos (aparentemente diferentes) maneras de tirar de $\mathbb{G}_m$$X$:
- Como gavillas de abelian grupos, $p^{-1}\mathbb{G}_m$ es el sheafification de la presheaf $$(p^{-1}\mathbb{G}_m)^\mathrm{pre}(U) = \varinjlim_{V \supseteq p(U)}\,\mathbb{G}_m(V)$$ Since $p(U)$ is the whole of $\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}$ for any nonempty $U$, we have $(p^{-1}\mathbb{G}_m)^\mathrm{pre}(U) = \mathbb{G}_m(\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}) = \mathbb{C}^\times$, so $p^{-1}\mathbb{G}_m$ is the locally constant sheaf $\underline{\mathbb{C}^\times}$.
- Como de los planes, el retroceso $X \times_{\mathrm{Spec}\,\mathbb{C}}\mathbb{G}_m$ es un esquema de grupo abelian $X$ cuyo gavilla de las secciones es $\mathbb{G}_m(\mathcal{O}_X)$ —es decir, la gavilla de las funciones de$X$$\mathbb{G}_m$.
Siempre he pensado que la primera construcción se dio el resultado de la segunda, pero me parece que han argumentado lo contrario aquí. He cometido un error? O estoy en lo cierto pero el pullback como esquemas de algún otro functor (tal vez la excepcional inversa de la imagen $p^!$)?
