Calcular la división de campo

Question

Tengo que calcular la división de campo de la $x^6-1 \in Q[x]$. Sé que $x^6-1=(x+1)(x-1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)$ pero no sé qué hacer después de eso.

Por favor me ayude.

Answer 1

Usted quiere encontrar el más pequeño campo que contiene $\mathbb Q$ que contiene todas las raíces de $x^6-1$. Para la concreción, podemos trabajar en $\mathbb C$. Las raíces de $x^6-1$$e^{k\pi i/3}$$k=0,\ldots,5$. Es fácil ver que estos son todos los poderes de $e^{\pi i/3}$, lo $\mathbb Q(e^{\pi i/3})$ contiene $\mathbb Q$ y todas las raíces de $x^6-1$. Por lo tanto que contiene la división de campo. Ya que es por definición el más pequeño campo que contiene tanto $\mathbb Q$$e^{\pi i/3}$, la división de campo está contenida en ella. Así, la división de campo de la es $\mathbb Q(e^{\pi i/3})$.