¿Es el encierro de la imagen de un operador de Fredholm de la finitud de la Codimensión de su imagen?

Question

Deje $X$ $Y$ ser espacios de Banach. Un operador acotado $T\colon X\to Y$ se llama Fredholm iff

• La dimensión de $\ker(T)$ es finito,

• El codimension de la imagen $\mathrm{im}(T)$ es finito,

• La imagen de $\mathrm{im}(T)$ es cerrado en $Y$.

Pregunta: Es la tercera condición redundante?

Algunas notas de la conferencia en el que estoy trabajando a través de la afirmación de que la tercera condición de la siguiente manera a partir de la segunda junto con la asignación abierta teorema. Lo he comprobado en algunos libros funcional-análisis sin encontrar una prueba de ello.

Answer 1

Asumir que $T$ es inyectiva, porque si no que sabemos que $\textrm{ker}(T)$ está cerrada así que podemos reemplazar $T$ por el mapa inducido de $X/\textrm{ker}(T)$ (que es un espacio de Banach).

Ahora definir $T' := X \oplus C \to Y$ $T'(x, c) = T(x) + c$ $C$ dónde está un complemento cerrado para el rango de $T$.

Este $T'$ está claramente delimitado, lineal y un isomorfismo. Así que por el mapeo abierto teorema $T'$ está abierto. Tenga en cuenta que $\textrm{im}(T) = T'(X \oplus \{0\})$ que está cerrado.

Answer 2

La tercera condición es redundante. La prueba que he visto es el siguiente.

Todo $X,Y$ son espacios de Banach y $E$ es un subespacio cerrado de $X$.

Lema: si $F \subset X$ es finito dimensionales, a continuación, $E+F$ está cerrada y la imagen de $E$ $X/F$ es cerrado.

prueba: reducir para el caso de $\dim F = 1$, es decir, $F = \mathbb{C} x_0$ $x_0 \not \in E$ (de lo contrario $E+F$ es trivialmente cerrado). Hemos de mostrar a cada convergente larga converge a un punto en $E + F$. Deje $z_n = y_n + c_n x_0$ ser una secuencia con límite de $z_0$. Deje $\delta = dist(x_0, E) > 0$. Ahora $(z_n)$ es de Cauchy para $|z_n - z_m| \to 0$ $n,m$ lo suficientemente grande. Es decir, $|(c_n - c_m)x_0 - (y_n -y_m)| \ge |c_n -c_m|\delta \to 0$. De ello se desprende que $(c_n)$ es de Cauchy así que converge a $c_0$. Por lo $y_n$ converge a $z_0 - c_0x_0 \in E$ por lo tanto $z_0 \in E + F$ como se desee.

Por lo $E+F$ es un espacio de Banach por lo tanto también lo es $E+F/F = Im(E) \in X/F$ que dice exactamente que sus cerrado en $X/F$. QED

Ahora podemos mostrar a $TE$ es cerrado en $Y$. Deje $y_0 + TX, ..., y_n + TX$ ser una base para $Y/TX$$Y_0 = span(y_i)$. Considere la posibilidad de $T' \colon X \oplus Y_0 \to Y$$T'(x\oplus y) = Tx + y$. Este es surjective lo $T'' \colon X \oplus Y_0/(\ker T \oplus 0) \to Y$ es invertible. Por el lema $E$ es cerrado en $X \oplus Y_0/(\ker T \oplus 0)$ y mapas a $TE$ bajo la invertible mapa de $T''$. QED.