Deje $R$ ser un anillo conmutativo con un número finito de máximos ideales. Si $R_{\mathfrak{m}}$ es Noetherian para todos los máximos ideales de la $\mathfrak{m}\unlhd R$, probar que el producto de la localización de los mapas de $R\rightarrow \bigoplus_{\mathfrak{m}}R_{\mathfrak{m}}$ es una incrustación.
La redacción es un poco raro (?), pero creo que el punto es mostrar que la declaró mapa es inyectiva. Estoy bastante seguro de que el mapa en cuestión es $\varphi: R\rightarrow \bigoplus_{i=1}^n R_{\mathfrak{m_i}}$, $\varphi(r)= (\varphi_i(r))$, donde $\varphi_i:R \rightarrow R_{\mathfrak{m}_i}$, $r\mapsto r/1$. Aquí están mis infructuosos intentos y pensamientos.
Supongamos $\varphi$ no es inyectiva. A continuación, hay algunos $r\neq 0$ que $\varphi(r)=0$, por lo tanto $r/1=0$ $R_{\mathfrak{m}_i}$ todos los $i$. Por definición, entonces tenemos $u_i\in R\backslash {\mathfrak{m}_i}$ tal que $u_ir=0$ todos los $i$. Si $r$ es una unidad, a continuación, $r\in R\backslash {\mathfrak{m_i}}$ todos los $i$ $r/1$ es una unidad en $R_{\mathfrak{m}_i}$, una contradicción ya que el $r/1=0$. Si $r$ no es una unidad, a continuación, deje ${\mathfrak{m}_1},\dots,{\mathfrak{m}_k}$ ser la máxima ideales en $R$ que contengan $r$, lo $r\in \cap_{i=1}^k {\mathfrak{m}_i}$. A continuación, $(r/{u_i})\subsetneq {\mathfrak{m}_i}_{{\mathfrak{m}_i}}$ todos los $i=1,\dots,k$. Desde $R_{\mathfrak{m}_i}$ es Noetherian, cada ideal maximal ${\mathfrak{m}_i}_{{\mathfrak{m}_i}}\unlhd R_{{\mathfrak{m}_i}}$ es finitely generado...
En este punto las cosas salían innecesariamente complicado, sin contradicción obvia, y después de cachondeo con esto por algún tiempo, me siento como que tengo que estar yendo por el camino equivocado. Me pregunto si hay otra forma de caracterización de Noetherian que debo emplear? Me parece que no puede averiguar cómo usar el ascendente de la cadena de condición en este caso. También pensé tratando de alguna manera de incorporar el hecho de que $R=\cap_{\mathfrak{m}} R_{\mathfrak{m}}$?
Voy a notar que creo que es suficiente para demostrar que $R\rightarrow R_{{\mathfrak{m}_i}}$ es inyectiva por lo menos un $i$, ya que en este caso si $\varphi(r)=0$$\varphi_i(r)=0$, lo que implicaría $r=0$, pero me parece que no puede conseguir mucho.
Cualquier ayuda sería muy apreciada.
ACTUALIZACIÓN: parece ser que ni la asunción (Noetherian, un número finito de máximos ideales) es necesario para el resultado. Ver los comentarios.
