¿Por qué los límites finitos conmutan con colímitos filtrados en la categoría de grupos abelianos?

Question

Estoy leyendo Borceux - Manual de álgebra categórica 1, p.80-81

Hay una proposición que no tuve ningún problema en entender: El functor olvidadizo $U:\textbf{Ab}\rightarrow \textbf{Set}$ conserva y refleja los colimits filtrados.

Sin embargo, aparece un corolario justo después de esta proposición que no entiendo por qué se deduce de la proposición anterior. Es decir, "En $\textbf{Ab}$ límites finitos conmutan con colímitos filtrados". ¿Cómo se deduce esto de la proposición anterior?

Sea $\mathscr{C}$ sea una categoría filtrada pequeña y $\mathscr{D}$ sea una categoría finita y $F:\mathscr{C}\times \mathscr{D}\rightarrow \textbf{Ab}$ sea un functor covariante. Sé que $U$ preserva límites y colímites filtrados, y los colímites filtrados conmutan con límites finitos en $\textbf{Set}$ .

Por lo tanto, tenemos las siguientes identificaciones:

$U(colim_C (lim_D F(C,D)))\cong colim_C(U(lim_D(F(C,D)))\cong colim_C(lim_D( U\circ F (C,D))) \cong lim_D(colim_C(U\circ F(C,D)))\cong lim_D(U(colim_C F(C,D)))\cong U(lim_D(colim_C F(C,D)))$ .

Sin embargo, esto no implica que $colim_C (lim_D F(C,D))\cong lim_D (colim_C F(C,D))$ . ¿Cómo demuestro el corolario a partir de la proposición dada?

Answer 1

$U$ es conservativo, y el isomorfismo $[(a_i)]\mapsto ([a_i])$ del colímite de límites al límite de colímites en $\mathbf{Set}$ surge de un homomorfismo de grupos abelianos, ya que al final sus componentes son composiciones de proyecciones de límites e inclusiones a colímites que son a su vez morfismos de grupos abelianos.

Un argumento mucho más general es que $\mathbf{Ab}$ como cualquier categoría cocompleta de modelos para una teoría algebraica, es una subcategoría reflexiva, filtrada y cerrada por colímitos de una categoría de preseaf (la palabra clave aquí es "localmente presentable"), y los colímitos filtrados conmutan con los límites filtrados en los preseaf, ya que los límites y los colímitos son nivelables.