¿Qué podemos concluir acerca de la solución al integrar la ecuación de características en este PDE problema?

Question

Me he encontrado con el siguiente problema de la PDE: $$\frac{\partial u}{\partial t} + 2tx^2\frac{\partial u}{\partial x} = 0, \\ u = u(x,t) \\ u(x,0) = x^3$$

Esta es una de primer orden, lineal, homogénea de la PDE. Sin embargo, utilizando el método de las características, cuando voy a resolver la ecuación de características, llego $x = 1/(-t^2 + constant)$, y cuando me parcela que el gráfico de las curvas nunca interceptar el $x$ eje. Siendo así, no puedo coger una curva característica que pasa a través de $(x_0, 1)$, y así no creo que podemos concluir que $u$ es constante a lo largo de las características.

¿Qué podemos concluir acerca de la PDE solución dada al problema de la condición? Será débil (no clásica) de la solución?

Answer 1

La línea de $x=0$ es una característica de este PDE. De hecho, la ecuación dice que cuando $x=0$, el derivado $u_t$ es cero, lo que significa $u$ es constante en esta línea.

La razón por la que no he encontrado esta característica a la hora de resolver el ODE $$ \frac{dt}{dx} = \frac{1}{2tx^2} $$ es que poniendo a $x$ en el denominador, ya perdimos la solución de $x=0$. Esto sucede a menudo cuando se trata de la educación a distancia. Siempre revise las posibles soluciones de equilibrio correspondiente a denominador es cero; que puede o no puede ser encontrado de otra manera.

No puedo coger una curva característica que pasa a través de $(x_0,1)$

Es $x=0$ si $x_0=0$, y la curva de $\frac{1}{x}+t^2 = \frac{1}{x_0}+1$ lo contrario.

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También pregunte acerca de las soluciones. Cualquier función de la forma $u(x,t)=f(t^2+\frac1x)$ es una solución suave de siempre $f$ es suave en $\mathbb{R}$ $z\mapsto f(1/z)$ es suave en $0$. Por ejemplo, $f(z) = z/(z^2+1)$ funcionaría.

Si en lugar de escoger algo como $f(z)=z$, entonces sí, la solución será discontinua a través de la $t$-eje.