Serie de Convergencia o divergencia - $a_n = \frac{(n!)^2}{2^{n^2}}$

Question

Tengo esta serie:

$$a_n = \frac{(n!)^2}{2^{n^2}}$$

Traté de resolverlo con:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n+1}{a_n}$$

Así que tengo:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{\big[(n+1)!\big]^2}{2^{(n+1)^2}}}{\frac{(n!)^2}{2^{n^2}}}$$ $$\lim_{n\to\infty} \frac{\big[(n+1)!\big]^2}{2^{(n+1)^2}} * \frac{2^{n^2}}{(n!)^2}$$ $$\lim_{n\to\infty} \frac{\big[(n+1)(n)!\big]^2}{2^{(n+1)^2}} * \frac{2^{n^2}}{(n!)^2}$$ $$\lim_{n\to\infty} \frac{\big[(n+1)\big]^2}{2^{(n+1)^2}} * 2^{n^2}$$ $$\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n^2}(n+1)^2}{2^{(n+1)^2}}$$

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Después de esto, el uso de las leyes de índices, $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{n^2}(n+1)^2}{2^{(n+1)^2}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^2}{2^{(n+1)^2-n^2}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(n+1)^2}{2^{2n+1}}=0$$

Por lo tanto, la serie es convergente.

Answer 2

Va de$n$$n+1$, se multiplica por $\dfrac{(n+1)!^2}{n!^2}=(n+1)^2$ y dividir por $\dfrac{2^{(n+1)^2}}{2^{n^2}}=2^{2n+1}$. El denominador "gana". (Para todos los $n$, la proporción no supera $\dfrac12$.)

Answer 3

Otra manera es usar Stirling aproximación para el numerador: $$ (n!)^2 \sim \big(\frac{n}{e} \big)^{2n} 2 \pi n = \frac{2 \pi n e^{2n \log n}}{e^{2n}} $$ Ahora divida a través de $e^{n^2}$ conseguir $e^{n^2 + 2n}$ en el denominador y claramente denominador crece asintóticamente mucho más rápido.