Deje $\mathbf{A}$ $N\times N$ Hermitian de la Matriz. Deje $\mathbf{Q}$ $N\times N$ unitario de la matriz. Deje $\mathbf{Q}_r$ ser la matriz formada por el uso de la primera $N-1$ columnas de $\mathbf{Q}$. Podemos decir nada acerca de la eigenvaules de $\mathbf{Q}_r^H\mathbf{AQ}_r$? Sé que son reales y deben estar en el intervalo de $[\lambda_{min}(\mathbf{A}),\lambda_{max}(\mathbf{A})]$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Deje $J$ $n \times (n-1)$ matriz que consta de la primera $n-1$ columna de la identidad de $I$. A continuación,$Q_r = QJ$. Así, denotando $Q_r^* := Q_r^H$, vemos que
$$B := Q_r^* A Q = J^* Q^* A Q J,$$
que es la principal $(n-1) \times (n-1)$ submatriz principal de a $Q^* A Q$. Obviamente, $B$ es Hermitian, por lo que tiene real de los autovalores, y los límites que usted escribió aplicar. Sin embargo, si las columnas de a $Q$ no son los vectores propios de a $A$, no se puede decir nada más. Si lo son, $B$ es diagonal, y los valores propios son los de $A$, sin que el asociado con la última columna de $Q$.
Aviso de que ambos límites son accesibles, es decir, no se puede reducir la $[\lambda_{\min}(A), \lambda_{\max}(A)]$ a un segmento más pequeño sin tener algo de información adicional en $Q$. A ver que, simplemente, tomar cualquier unitario $Q$ de manera tal que sus primeras dos columnas son los vectores propios asociados con$\lambda_{\min}(A)$$\lambda_{\max}(A)$, en cualquier orden.
