El poder de la Serie Representación de $(1+x)/(1-x)$

Question

Para la alimentación de la serie representación de, $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$$1 + 2 \sum_{n=1}^\infty x^n$, ¿de Dónde viene el añadido de $1$ frente? Cómo hago para llegar a esta respuesta de $\sum_{n=0}^\infty x^n + \sum_{n=0}^\infty x^{n+1}$

Answer 1

La primera suma es $$\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n}=1+\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n}.$$ By changing the summation index $k=n+1$ the second sum can be rewritten as $$\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+1}=\sum\limits_{k=1}^\infty x^{k}$$ así $$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n}+\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n+1}=1+\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n}+\sum\limits_{k=1}^\infty x^{k}=1+2\sum\limits_{n=1}^\infty x^{n}$$

Answer 2

Hay dos maneras de ver esto. En primer lugar, como usted ha señalado, $$ \begin{align} \frac{1+x}{1-x} &=\sum_{n=0}^\infty x^n+\sum_{n=0}^\infty x^{n+1}\\ &=1+\sum_{n=1}^\infty x^n+\sum_{n=1}^\infty x^n\\ &=1+2\sum_{n=1}^\infty x^n \end{align} $$ El segundo es de notar que $$ \begin{align} \frac{1+x}{1-x} &=1+\frac{2x}{1-x}\\[6pt] &=1+2x\sum_{n=0}^\infty x^n\\ &=1+2\sum_{n=1}^\infty x^n \end{align} $$

Answer 3

$$f(x)=\frac{1+x}{1-x}=(1+x)\frac{1}{1-x}$$ $$=(1+x)\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}x^n+x\sum_{n=0}^{\infty}x^n=$$ $$=\sum_{n=0}^{\infty}x^n+\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}$$ porque $$\sum_{n=0}^{\infty}x^n=x^0+\sum_{n=1}^{\infty}x^n=1+\sum_{n=1}^{\infty}x^n$$ y $$\sum_{n=0}^{\infty}x^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}$$ tenemos $$(1+x)\frac{1}{1-x}=1+\sum_{n=1}^{\infty}x^n+\sum_{n=1}^{\infty}x^n=$$ $$=1+2\sum_{n=1}^{\infty}x^n$$