Encontrar todos los $n \in \mathbb{Z}_{>0}$ tal que $n^2+a \mid n^3+a$

Question

Podría alguien aconsejarme cómo buscar todos los $n \in \mathbb{Z}_{>0}$ tal que $n^2+a $ divide $ n^3+a,$ donde $a \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ es fijo ?

He comprobado es necesario que $n^2+a $ divide $ a^2+a,$ i.e$-a \leq n \leq a.$, Estoy en el camino correcto? Gracias.

Answer 1

$n^2+a$ divide $n^3+na$, por lo que se divide $n^3+a$ si y sólo si $n^2+a$ divide la diferencia, que es $na-a$. Por supuesto, usted desea entero positivo soluciones, y para $n>a$ tenemos $n^2+a\geq na+a> na-a$.

Por lo tanto, usted tiene que tratar de los valores entre $1$$a$.

Answer 2

$n^2+a \mid n^3+a-n(n^2+a)$, por lo tanto, la divisibilidad es equivalente a $$ n^2+\mediados de los a(n-1). $$ Definir el entero $k$ tal que $a=n^2-k$. Entonces, equivalentemente, $$ k\mid (n^2-k)(n-1) \Leftrightarrow k\a mediados de n^3-n^2. $$ De ello se desprende que todas las soluciones $(n,a)$ están en el formulario de $(n,n^2-k)$ donde $k$ representa un divisor de a $n^3-n^2$.