¿Cómo pruebo que el $f(x)$ es positivo para todos los verdaderos $x$ ?

Question

$$ \frac {f(x+y) - f(x)}{2}= \frac {f(y)-a}{2} +xy $$ de verdad $x$ y $y$ . Si $f(x)$ es diferenciable y $f'(0)$ existe para todos los valores reales permisibles de $a$ y es igual a $ \sqrt {5a-1-a^2}$ . Demuestra que $f(x)$ es positivo para todos los verdaderos $x$ .

He diferenciado la ecuación manteniendo $x$ constante y luego poner $y=0$ y luego se integró y consiguió $f(x)$ como $$f(x)= x^2 +x \sqrt {5a-1-a^2}+c$$ poniendo $x=y=0$ en $$ \frac {f(x+y) - f(x)}{2}= \frac {f(y)-a}{2} +xy $$ Tengo $f(0) =a$ así que finalmente conseguí la función como $$f(x)= x^2 +x \sqrt {5a-1-a^2}+a.$$ Ahora, ¿cómo debo proceder? $b^2 -4ac <0 $ ¿Ayuda?

Answer 1

¿Está seguro de su expresión para $f(x)$ ? (haciéndolo muy rápidamente, parece que el coeficiente de $x^2$ debería ser uno, no $ \frac {1}{2}$ y de manera similar: no $2$ coeficiente delante de la raíz cuadrada).

Asumiendo esto, entonces se deduce que el polinomio cuadrático $$ f(x) = x^2 + x \sqrt {5a-1-a^2} + a $$ es siempre positivo. De hecho, no tiene raíces: $ \Delta = - (a^2-a+1) < 0$ y por lo tanto siempre tiene (estrictamente) el mismo signo que el coeficiente principal (de $x^2$ ), que es $1$ .

Answer 2

Ponga $y=0$ dando $a=f(0)$ . Para no $0$ $y$ divide la ecuación original por $y$ [con por supuesto, $a=f(0)$ ], y dejar que $y$ ir a $0$ dando $f'(x)/2= f'(0)/2+x$ . Integrando esto, tenemos $f(x)=xf'(0)+x^2+c$ . Esto satisface la ecuación original porque $c=a=f(0)$ .