Ayuda con C es la constante de Euler y $\Gamma(0)=\infty$ en papel

Question

Me estoy refiriendo a un papel por S. Nadarajah & S. Kotz.

La notación es bastante simple de entender, sin embargo estoy teniendo problemas con $C$ es la constante de Euler y $\Gamma(0)=\infty$ por la ecuación (2.3) he

$$F(z)= \displaystyle\lambda\int_{0}^{\infty}y^{-1-1}exp\left(-\frac{\lambda}{y}\right)erfc\left(-\frac{z}{\sqrt{2}\sigma} y\right)~dy - 1$$

por el lema 1(definido $\displaystyle p>0 , \alpha < 0 , \arrowvert \text{arg}(c) \arrowvert < \frac{\pi}{4}$) , luego \begin{align} \displaystyle F(z) &= \lambda\left[\frac{1}{\lambda} + \frac{2z}{\sqrt{2\pi}\sigma}\Gamma(0)G\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2},1,\frac{1}{2};-\frac{\lambda^2z^2}{8\sigma^2}\right) + \frac{z}{\sqrt{2\pi}\sigma}\Gamma(0)G\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2},\frac{1}{2},1;-\frac{\lambda^2z^2}{8\sigma^2}\right) \right. \\ & \hspace{10mm} \left. + \frac{z^2 \lambda}{4\sqrt{\pi}\sigma^2}\Gamma \left(-\frac{1}{2}\right) G\left(1;2,\frac{3}{2},\frac{3}{2};-\frac{\lambda^2z^2}{8\sigma^2}\right) \right]-1 \end{align}

tenga en cuenta que $\Gamma(-\frac{1}{2})=-2\sqrt{\pi}$ $\Gamma(0)=\infty$

así $~~~~~~~~\displaystyle F(z) = \frac{\lambda z}{\sqrt{2}\sigma}\left[\frac{3\Gamma(0)}{\sqrt{\pi}}G\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2},1,\frac{1}{2};-\frac{\lambda^2z^2}{8\sigma^2}\right) - \frac{\lambda z}{\sqrt{2}\sigma}G\left(1;2, \frac{3}{2},\frac{3}{2};-\frac{\lambda^2z^2}{8\sigma^2}\right)\right] $

pero la ecuación no es igual a la ecuación(2.1)

Yo sería muy feliz si alguien me puede ayudar.ayuda por favor

Answer 1

Notas:

1. El papel que se hace referencia es clara acerca de los parámetros de $p$ y cómo $z$ está definido. Parece que de alguna manera $p \sim \Gamma(0)$. Esto funcionaría si otro parámetro está definido, decir $\alpha$, de tal manera que $p = \alpha \, \Gamma(0) \to \beta$ donde $\beta$ es una cantidad finita.
2. Es de interés señalar que \begin{align} I &= \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{p}{x}} \, erfc(c x) \, \frac{dx}{x^{2}} \\ &= \frac{1}{p} - \frac{3 \, C \, \Gamma(0)}{\sqrt{\pi}} \, G\left(\frac{1}{2}; \frac{3}{2}, 1, \frac{1}{2}; - \frac{c^{2} p^{2}}{4} \right) - p \, C^{2} \, G\left(1; 2, \frac{3}{2}, \frac{3}{2}; - \frac{c^{2} p^{2}}{4} \right) \end{align} y al hacer el cambio de variable $u = p/x$ luego de realizar la integración por partes, luego de hacer el cambio de variable $t = (cp)/u$ la integral se convierte en \begin{align} I = \frac{2 \, c^{2} \, p^{2}}{\sqrt{\pi}} \, \int_{0}^{\infty} e^{- t^{2} - \frac{c p}{t}} \, \frac{dt}{t} \end{align}

---

Vamos \begin{align} I &= \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{p}{x}} \, erfc(c x) \, \frac{dx}{x^{2}} \\ \end{align} y hacer el cambio de $u = \frac{p}{x}$ obtener $$I = \int_{0}^{\infty} e^{-u} \, erfc\left(\frac{c p}{u}\right) \, du.$$ Ahora, a través de la integración por partes, donde $$\partial_{u} \, ercf\left(\frac{c p}{u}\right) = \frac{2 c p}{\sqrt{\pi} \, u} \, e^{- \frac{c^{2} p^{2}}{u^{2}}},$$ la integral se convierte en $$I = \left[ - e^{-u} \, erfc\left(\frac{c p}{u}\right) \right]_{0}^{\infty} + \frac{2 c p}{\sqrt{\pi}} \, \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{c^{2}p^{2}}{u^{2}} - u} \, \frac{du}{u}.$$ Desde $erfc(\infty) = 0$, la no integral plazo se desvanece y al hacer el cambio de $x = \frac{c p}{u}$ el resultado integral se convierte en $$I = \frac{2 c^{2} p^{2}}{\sqrt{\pi}} \, \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2} - \frac{c p}{x}} \, \frac{dx}{x}.$$

Answer 2

Mira esta parte de la fórmula dada en el Lema 1:

$$ \begin{multline} -\frac{2cp^{\alpha+1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(-\alpha-1)G\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{3+\alpha}{2},1+\frac{\alpha}{2}; -\frac{c^2p^2}{4}\right) \\ + \frac{1}{c^\alpha\sqrt{\pi}\alpha}\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{2}\right) G\left(-\frac{\alpha}{2},1-\frac{\alpha}{2},\frac{1}{2},\frac{1-\alpha}{2}; -\frac{c^2p^2}{4}\right) \end{multline} $$ No podemos sustituir $\alpha$ $-1$ en esta expresión, puesto que podría producir dos ocurrencias de $\Gamma(0)$. Pero esto da $-\infty +\infty$ y no es posible un límite de aquí.

A continuación es una heurística derivación del límite en $\alpha=-1$. Sustituto $\alpha$$-1$, excepto en el $\Gamma(\cdot)$: $$ \begin{multline} -\frac{2c}{\sqrt{\pi}}\Gamma(-\alpha-1)G\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},1,\frac{1}{2}; -\frac{c^2p^2}{4}\right) \\ - \frac{c}{\sqrt{\pi}}\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{2}\right) G\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{1}{2},1; -\frac{c^2p^2}{4}\right) \\ = -\frac{c}{\sqrt{\pi}}\left(2\Gamma(-\alpha-1)+\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{2}\right) \right)G\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},1,\frac{1}{2}; -\frac{c^2p^2}{4}\right) \end{multline} $$

Now, I have not tried to know why, but it seems that $$2\Gamma(-\alpha-1)+\Gamma\left(\frac{\alpha+1}{2}\right) \to -3C \quad \text{when $\alpha \-1$:}$$

> f <- function(x) 2*gamma(-x-1) + gamma((1+x)/2)
> f(-0.999999999)/3
[1] -0.5772157
> digamma(1) # this is the Euler constant
[1] -0.5772157