La evaluación de la integral de línea $\int_C{F\cdot dr}$ para un determinado conservador campo de vectores $F$

Question

Así que tengo este campo de vectores en dos dimensiones: $$F=\langle (1+xy)e^{xy},x^2e^{xy}\rangle$$ ¿Cómo puedo saber si $F$ es conservador o no? Y también, ¿cómo puedo calcular $\int_C{F\cdot dr}$ donde $C$ $x^2+y^2=1, y\ge 0$ y orientado hacia la derecha.

Hasta ahora creo que primero tenemos que encontrar las derivadas parciales de primer. No está seguro de cómo proceder, aunque.

Me he dado cuenta de que es conservador mediante la búsqueda de las derivadas parciales, pero estoy teniendo problemas con el segundo cálculo.

Answer 1

Este campo vectorial es conservativo. usted acaba de comprobar que la derivada respecto de y de el primer componente es igual a la derivada respecto de x de la segunda componente. La función primitiva de este campo vectorial es xe^(xy)+c. Por lo tanto la integral de esta sobre la parte superior del semicírculo es el valor de la primitiva de a (1,0), menos el valor en (-1,0). Es 2.

Answer 2

Si ${\bf F} = \langle P, Q \rangle$ es conservador, por definición, no es algo de la función $f$ tal que $${\bf F} = \nabla f = (f_x, f_y).$$ (At least under the modest assumption that $f$ is $C^2$,) by Clairaut's Theorem the mixed partial derivatives of $f$ el viaje, y así $$P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x.$$ Por otro lado, uno puede mostrar que el resultado de la igualdad $$P_y = Q_x$$ is a sufficient condition, provided that the domain of $\bf F$ es simplemente conectado (de manera informal, no tiene agujeros).

Desde $\bf F$ es conservador, uno tiene al menos dos opciones para la evaluación de la integral:

1. Aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo para Integrales de Línea, que da para $\bf F = \nabla f$ y una (es decir, a trozos $C^1$) de la curva de $\gamma$ $a$ $b$que $$\int_{\gamma} {\bf F} \cdot d{\bf s} = f(b) - f(a).$$ In our case, solving the p.d.e. system $$\left\{\begin{array}{rcl} f_x & = & (1 + xy) e^{xy} \\ f_y & = & x^2 e^{xy} \end{array}\right.$$ gives (e.g.) the potential $$f(x, y) = x e^{xy},$$ and so by the F.T.C., $$\int_C {\bf F} \cdot d{\bf s} = f(1, 0) - f(-1, 0) = (1) e^{(1)(0)} - (-1) e^{(-1)(0)} = 2.$$
2. En particular, la F. T. C. implica que el valor de la integral de línea es independiente de la ruta de acceso de la conexión de los extremos de la curva de $C$, por lo que evaluamos es por la búsqueda de una curva con los extremos del mismo y en la que la forma de $\bf F$ es particularmente simple. En nuestro caso, es conveniente elegir el segmento de la línea de $C'$ $(-1, 0)$ $(1, 0)$orientado a la derecha, que nos puede parametrizar por ${\bf r}(t) := (t, 0)$, $t \in [-1, 1].$ a Continuación, evaluar directamente da \begin{align} \int_C {\bf F} \cdot d{\bf s} &= \int_{C'} {\bf F} \cdot d{\bf s} \\ &= \int_{-1}^1 {\bf F}({\bf r}(t)) \cdot {\bf r}'(t) \,dt \\ &= \int_{-1}^1 ([1 + (t)(0)]e^{(t)(0)}, t^2 e^{(t)(0)}) \cdot (1, 0) \,dt \\ &= \int_{-1}^1 dt \\ &= 2. \end{align} Observe que el segundo método es más fácil en el sentido de que no requiere la solución de un sistema de p.d.e.s, y en su lugar sólo requiere el cálculo de una (muy fácil) integral.