¿Cómo puedo representar esto en teoría de grupos?

Question

Me encontré con un problema en la vida real que estoy bastante seguro de que tiene una representación en la teoría de grupo, pero no sé cómo.

Supongamos que usted lanza una moneda cuatro veces. El 16 resultados son los siguientes:

HHHH
HHHT
...
TTTT

Primero de todo, si usted tiene un conjunto finito S (en este caso S={H, T}), ¿cómo se llama el conjunto de todas las secuencias de longitud N, donde cada una de las N posiciones es elegido de S?

Dado que el conjunto, estoy tratando de contar el número de resultados distintos si se consideran los ciclos; es decir, la identidad de una secuencia puede cambiar, por lo que (HHHT) es el mismo que (HHTH) (todo lo que se desplaza a la izquierda y más a la izquierda de valor se desplaza a la derecha).

Creo que debe ser posible para representar un resultado como un elemento de un grupo finito, y la factorizations en que grupo iba a dar a los distintos elementos del modulo el cambio, pero no estoy seguro de por dónde empezar.

Esto también me recuerda a la permutación de grupos, pero es lo suficientemente diferentes como para que yo no estoy seguro de cómo utilizar que cualquiera de los dos.

Answer 1

Primero de todo, si usted tiene un conjunto finito S (en este caso S={H, T}), ¿cómo se llama el conjunto de todas las secuencias de longitud N, donde cada una de las N posiciones es elegido de S?

Hay un montón de nombres para esta. En primer lugar, puede sólo tiene que llamar a $S^N$, que es equivalente al producto cartesiano $S \times S \times \dots \times S$ $N$ copias de $S$ o el conjunto de funciones de $N \to S$. Si usted tiene más de combinatoria o computación doblado se le podría llamar el conjunto de palabras o cadenas de longitud $N$ sobre el alfabeto $S$.

Dado que el conjunto, estoy tratando de contar el número de resultados distintos si se consideran los ciclos de

Teoría de grupo está involucrado en este problema, pero no de la manera que usted sugiere. Usted tiene un conjunto finito, aquí $S^N$, el cual está siendo utilizado por un grupo finito, aquí el grupo cíclico $C_N$ orden $N$, y que desea contar el número de órbitas de este grupo de acción. En este caso particular, estas órbitas son a veces llamados collares.

Una herramienta general para hacer esto es Burnside del lema, el cual le dice que si usted tiene un grupo finito $G$ que actúa sobre un conjunto finito $X$, entonces el número de órbitas es

$$\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |X^g|$$

donde $X^g$ denota el conjunto de todos los puntos fijos de $g$ (elementos de $X$ tal que $gx = x$) y $|X^g|$ indica el número de puntos fijos.

Este problema en particular es un buen ejercicio en el uso de Burnside del lema; es prueba de que la fórmula dada en el artículo de la Wikipedia en collares, y un ligero generalización de la prueba de una fórmula que yo llamo el bebé Polya enumeración teorema.