Antes de empezar: Soy nuevo en la teoría de las categorías.
Estoy tratando de mostrar que si $k$ es un núcleo de algún morfismo de alguna categoría, entonces es mónico.
Este es mi razonamiento hasta ahora:
Supongamos que el núcleo de algún morfismo $f: A \longrightarrow B$ es $k: K \longrightarrow B$ . Quiero demostrar que para cualquier objeto $C$ y para cualquier morfismo $g,h: C \longrightarrow K$ , $kg=kh$ implica $g=h$ .
Por la definición del núcleo, $fk = 0_{KB}$ donde $0_{KB}$ es el único morfismo cero $K \longrightarrow B$ . A continuación, observe que $kg, kh : C \longrightarrow A$ son morfismos tales que $fkg = 0_{CB} = fkh$ por la singularidad de $0_{CB}$ . Así que $0_{KB} \ g = 0_{CB} = 0_{KB} \ h$ . Aquí es donde estoy atascado: intuitivamente parece obvio que $g=h$ después de esto. ¿Por qué?
También me gustaría utilizar la existencia de morfismos únicos $u,v: C \longrightarrow K$ tal que $ku = kg$ y $kv = kh$ , respectivamente; sin embargo, no sé dónde aplicarlos.
Gracias por cualquier ayuda.
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Este enunciado es un caso especial del enunciado categórico abstracto más general: todo igualador es mónico. El núcleo de $f$ es el ecualizador de $f$ y $0_{AB}$ .
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Tengo una pregunta, en su pregunta, usted define $k : K \to B$ . no entiendo, por mi decisión, el núcleo es $k : K \to A$ .