¿Los idempotentes ortogonales dan suma directa?

Question

Diga $x$ y $x'$ son idempotentes ortogonales por lo que $x+x'=1$ y $xx'=0$ en algún anillo conmutativo $A$ . Entonces para cualquier $a\in A$ , $a=ax+ax'$ Así que $A=Ax+Ax'$ . ¿Por qué $Ax\cap Ax'=0$ ? Si $y=ax=a'x'$ entonces $y^2=aa'xx'=0$ . Tal vez me estoy perdiendo algo, pero $y^2=0$ implica $y=0$ ? ¿Existe una condición de no divisor cero necesaria para que esto funcione en general?

Answer 1

No, $y^2=0$ no implica $y=0$ en general.

Pero si $ax=a'x'$ entonces $ax = a(xx) = (ax)x = (a'x')x = a'(x'x) = a'0 = 0$ .

Answer 2

Si $ax=a'x'$ multiplique ambos lados por $x$ solo para conseguir $ax^2=0$ . Invocar la indempotencia.

Answer 3

Generalizando el conocido hecho de que $\rm\:lcm(1,n) = 1\cdot n,\:$ un lcm con un idempotente es trivial en cualquier anillo; más precisamente $\rm\:x^2 = x\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:lcm(x,x') = x\:x'.\:$ El suyo es un caso especial $\rm\:xx' = 0\:$ de este

Teorema $\ \ \:$ $\rm\:x,x'\ |\ y\iff xx'\ |\ y\ \ \:$ si $\rm\ \ xx\ |\ x,\ $ es decir $\rm\ axx = x\:$ para algunos $\rm\:a\in A$

Prueba $\rm\,\ \ (\Leftarrow)\,\ \ x,x'\ |\ xx'\ |\ y\ \ \ $ $\rm (\Rightarrow)\ \ x'c = y = xb = axxb = axx'c\ \Rightarrow\ xx'\ |\ y\ \ $ QED

Nota $\ \ $ La factorización en anillo que se estudia se conoce como Descomposición de Peirce.