Encontrar $\bigcap_{n = 1}^{\infty} (-\frac{1}{n}, \frac{2}{n})$

Question

Encontrar el $\bigcap_{n = 1}^{\infty} (-\frac{1}{n}, \frac{2}{n})$

Sé que $\{0\}$ es en la intersección, ya que se encuentra entre negativo y positivo de los números.

Quiero mostrar que para $x > 0$, $\exists n \in \mathbb{N}$ tal que $x > \frac{2}{n}$. Por esta lógica, $x$ está fuera del intervalo y por tanto no es en la intersección. Estoy confundido por donde "$x > 0$, $\exists n \in \mathbb{N}$ tal que $x > \frac{2}{n}$" viene de. Sé que la propiedad de Arquímedes establece que $\forall x \in \mathbb{R}, \exists n \in \mathbb{N}$ tal que $x > \frac{1}{n}$. Pero, ¿esto implica, necesariamente, que el $x$ es también mayor que $\frac{2}{n}$?

Para $x < 0$, $\exists n \in \mathbb{N}$ tal que $x < -\frac{1}{n} \Rightarrow x > \frac{1}{n}$ que es básicamente lo que el Arquímedes de propiedad de los estados.

Por lo $x = 0$ como se desee.

Answer 1

Por Arquímedes de la propiedad, $\forall y \in \mathbb{R}, \exists n \in \mathbb{N}$ tal que $y > \frac{1}{n}$.

En particular, dado $x\in \mathbb{R}, x>0$, vamos $y=\frac{x}{2}$, $\exists n \in \mathbb{N}$ tal que $y > \frac{1}{n}$, por lo tanto $x>\frac{2}{n}$.

Dado $x\in \mathbb{R}, x<0$, vamos $y=-x$, $\exists n \in \mathbb{N}$ tal que $y > \frac{1}{n}$, por lo tanto $x<-\frac{1}{n}$.