Pido disculpas por el largo aliento de la pregunta. Recientemente tuve una topología de mitad de período que se expresa de la siguiente manera: Si $g \circ f: X \to Z$ es una cubierta y $f: X \to Y$ es una cubierta, a continuación, probar que $g: Y \to Z$ es una tapa. No hubo supuestos en los espacios de $X,Y,Z$, que nos íbamos a encontrar el más flojo condiciones posibles para que la declaración anterior era cierto. Un par de semanas después de la mitad del período, y de mucha discusión con mis compañeros de clase, no hemos sido capaces de encontrar una solución todavía. Mi idea de la prueba es la siguiente: voy a suponer que todos los espacios están conectados localmente. Deje $p=g \circ f$ y corregir $z \in Z$. Deje $U$ ser conectado fundamentales de la vecindad con respecto a las $p$, es decir, podemos escribir $p^{-1}(U)$ como una colección de distintos bloques abiertos cada homeomórficos a $U$. A continuación, vamos a $\{U_\alpha \}$ ser la colección de componentes conectados de $g^{-1}(U)$ estos son abiertos por el conectado localmente hipótesis. Deje $p^{-1}(U)= \{W_\beta\}$. Por definición, sabemos que $f(W_\beta) \subset U_\alpha$ tales $\alpha$. Esto es debido a que cada una de las $W_\beta$ está conectado, siendo localmente homeomórficos a $U$ y por lo tanto se puede asignar a más de un $U_\alpha$. Ahora, $f^{-1}(U_\alpha)$ debe ser una subcolección de $W_\beta$, llamar a esta colección de $\{V_{\beta,\alpha}\}$. Yo dije que $$f: \cup_\alpha V_{\beta,\alpha} \to U_\alpha $$ is a covering map. However, my instructor pointed out that this map may not be surjective in general. If it is then I believe we can conclude that $f: V_{\beta\alpha} \U_\alpha$ is a homeomorphism, which would complete the proof because $p: V_{\beta\alpha} \a U$ is a homeomorphism. Hence $g$ must be too. My question is, does anyone know if we can prove that $f: V_{\beta\alpha} \U_\alpha$ es surjective aquí? O es mi enfoque equivocado? Alguna solución se agradece porque, hasta la fecha, no hay soluciones han sido publicadas en el mediano plazo, y me gustaría averiguarlo.
Respuesta
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Tsemo Aristide
Puntos
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Esto no es cierto en general, pero es cierto si se supone que $f$ es surjective.
Considere la posibilidad de $Y=X\coprod U$, la inconexión de la unión de $X$$U$$Z=X$, tome $f:X\rightarrow Y$ canónica de la involucración $h:Y\rightarrow X$ cualquier mapa y $g_{\mid X}=Id_X, g_{\mid Y}=h$. $g\circ f=Id_X$ y $f$ son las cubiertas, sino $g$ no es siempre una cubierta.
