Encontrar la Suma de la Serie: $1/(x+1) + 2/(x^2 + 1) + 4/(x^4 +1) +\cdots$ $n$ términos

Question

Encontrar la suma de $n$ términos de la siguiente serie:

$$\frac1{x+1} + \frac2{x^2 + 1} + \frac4{x^4 +1} +\cdots\qquad n\text{ terms}$$

$t_n$ parece ser $\dfrac{2^{n-1}}{x^{2^{n-1}} + 1}$

Pero después de eso no estoy seguro de cómo proceder

Answer 1

Sugerencia: Para $x\ne 1$, añada $\frac{-1}{x-1}$ en el frente, y observar la antena telescópica.

Answer 2

Sólo otro enfoque.

Deje $x$ ser un número real tal que $|x|>1$. Observar que $$ 1+x^{2^{n}}=\frac{x^{2^{n+1}}-1}{x^{2^{n}}-1} \quad n=0,1,2,\ldots, $$ dando $$ \prod_{n=0}^{N} \left(1+x^{2^{n}}\right)=\frac{x^{2^{N+1}}-1}{x-1} $$ La aplicación de la función logarítmica da $$ \sum_{n=0}^{N}\log \left(1+x^{2^{n}}\right)=\log\left(x^{2^{N+1}}-1\right)-\log (x-1) $$ diferenciando con respecto a $x$ $$ \sum_{n=0}^{N}\frac{2^{n}x^{2^{n}-1}}{x^{2^{n}}+1}=\frac{2^{N+1}x^{2^{N+1}-1}}{x^{2^{N+1}}-1}-\frac{1}{x-1} $ $ , equivalentemente, $$ \sum_{n=0}^{N}\frac{2^{n}}{x^{2^{n}}+1}=\frac{1}{x-1}-\frac{2^{N+1}}{x^{2^{N+1}}-1} $$ y luego hacer la $N$ tienden a $+\infty$ conduce a una forma cerrada para la serie.

Answer 3

Sugerencia: Intente algunos pequeños casos ($n=1,2,3$). El patrón debe quedar claro, y es más probable que pueda demostrarlo por inducción en $n$.

Answer 4

nota: después de haber visto Andre precioso solución es muy parecido a un martillo y un cincel trabajo! sin embargo, había algunos diablo en los detalles, y me hizo aprender algo de ejercicio!

definir: $$ D_m=\prod_{k=1}^m (1+x^{2^{m-1}}) = \sum_{k=0}^{2^m-1}x^k $$ y

$$ N_m = \sum_{k=1}^{2^m-1} (2^m-k)x^{k-1} \etiqueta{1} $$ y ahora definir la suma $$ S_m=\frac{N_m}{D_m} $$ entonces $$ S_m+\frac{2^m}{x^{2^m}+1} = \frac {x^{2^m}+1)N_m + 2^mD_m}{D_{m+1}} $$

a partir de (1) tenemos $$ N_{m+1} = \sum_{k=1}^{2^{m+1}-1} (2^{m+1}-k)x^{k-1} \\ = \sum_{k=1}^{2^m-1} (2^m-k)x^{k-1} +\sum_{k=1}^{2^m-1} 2^m x^{k-1} + \sum_{k=2^m}^{2^{m+1}-1} (2^{m+1}-k)x^{k-1} \\ = N_m + 2^m(D_m -x^{2^m-1}) + \sum_{k=0}^{2^m-1} (2^m-k)x^{2^m+k-1} \\ = (1+x^{2^m}) N_m + 2^m D_m $$ por lo tanto, con la definición obvia de $S_m$ tenemos el paso inductivo: $$ S_m = \frac{N_m}{D_m} \Rightarrow S_{m+1} = \frac{N_{m+1}}{D_{m+1}} $$