Cuando se trata de aprender análisis de abajo hacia arriba, ¿qué números debo primero construyo?

Question

Estoy interesado en el estudio de análisis y temas relacionados. Sin embargo, quiero asegurarme de que lo hago bien y sin hacer demasiados amplios saltos en mi aprendizaje.

En algunos libros que he visto, el autor podrá, por ejemplo, construir $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}$ con asumiendo que las propiedades de $\mathbb{Q}$, en otros textos, he visto de primera de la construcción de la $\mathbb{Q}$ suponiendo que las propiedades de $\mathbb{Z}$. También he visto que $\mathbb{Z}$ $\mathbb{N}$ puede construirse a sí mismos.

Así que, me pregunto, ¿en qué orden debo empezar, ¿qué es de la parte inferior en un sentido? Debo primero tratar de entender la construcción de la $\mathbb{N}$ a través de la teoría de conjuntos y, a continuación, utilizar para construir $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ y, por último, la $\mathbb{R}$? ( Y asumo $\mathbb{C}$ generalmente vendrá última como usted debe tener, $\mathbb{R}$ primero? O si esto sólo una base de la contracción siguiente $\mathbb{R}$)?

Alguien tiene visión, o recomendaciones acerca de esto?

Gracias!

$\mathbf{Update:}$ Gracias por todos los comentarios hasta el momento, tal vez debería proporcionar algo más de contexto sobre lo que estoy tratando de lograr. Básicamente, estoy buscando una sólida comprensión de esta, todo en el contexto de, por ejemplo, un título de programa de licenciatura en matemáticas. Es decir, tanto como yo lo estoy interesado en toda la arena y los detalles, mi enfoque principal es el entendimiento práctico, y que será suficiente para tener éxito en este nivel de matemáticas.

También, parece como si esta es una buena idea simplemente aprender las reglas de los reales, por lo que puede que alguien me proporcione una manera de aprender este/pdf de estos? o es simplemente las reglas de los campos que se piden?

Gracias por cualquier y todos los consejos, voy a empezar pronto

Actualización: Después de leer todas las respuestas, decidí que yo no iba a preocuparse por la construcción de cualquiera de los números todavía, y han iniciado el estudio de análisis hace uso de un conjunto de axiomas de los números reales. No he tenido ningún problema con este enfoque tan lejos.

Answer 1

Mi consejo es que si tu meta es estudiar análisis, elegir cualquier construcción de los números reales que tenga sentido para usted y pasar a estudiar realmente el análisis.

Answer 2

Como littleO señaló en los comentarios, creo que es una gran idea para construir una auténtica análisis a partir de una axiomática descripción de los números reales. Los reales son descritas de forma única por una sorprendente lista de propiedades: cada completar ordenó campo es funcionalmente equivalente a $\mathbb{R}$.

Dos libros de texto que siguen este enfoque son Anbar Sengupta las Notas Introductorias de Análisis Real y William Trinchera de la Introducción al Análisis Real.

La razón por la que creo que es una buena idea para empezar a partir de una axiomática descripción de los números reales es que, como ya hemos descubierto, hay toneladas de aspecto muy distinto maneras de construir los números reales. Cada uno tiene su propio sabor y sus ventajas, pero también te darán $\mathbb{R}$ en la final. El pensamiento de los reales axiomáticamente significa que usted se centra en las propiedades de otros reales que realmente importa, más que el poco raro peculiaridades de una construcción particular.

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Si eres un programador, ya estás familiarizado con esta idea. Cuando se escribe un Esquema de programa, por lo general, no importa si va a ser interpretados con Astucia, compilado a código de máquina con el Esquema de 48, o compilado a código de bytes con la Kawa. Todo lo que importa acerca de Esquema es descrito por la especificación del lenguaje, de modo que usted no tiene que preocuparse acerca de los detalles de implementación, excepto en algunas circunstancias excepcionales.

Un sistema de axiomas es como una especificación del lenguaje, o de una API, para un objeto matemático. Esto le permite centrarse en jugar con el objeto, en lugar de enredarse en los detalles de su implementación.

Answer 3

No se centran en construir los números verdaderos. Sólo aprender sus propiedades y mudarse a hacer análisis. Una vez que estés cómodo con análisis: convergencia, integración, derivados, ect. Volver a los números verdaderos y ver si puede construirlas. Se apreciar lo que se está haciendo con la construcción de Dedekind más si usted ha hecho algunos análisis.

Answer 4

Conway, En Números y Juego recomendado comenzar con $\mathbb N = \mathbb Z_{\ge 0}$, pasando luego a $\mathbb Q_{\ge 0}$,$\mathbb R_{\ge 0}$,$\mathbb R$. La razón es que se reduce el número de casos, en lugar de irse haciendo $\mathbb N \to \mathbb Z \to \mathbb Q \to \mathbb R$, que requiere muchos casos especiales.

Se construye $\mathbb N$ usando los Axiomas de Peano.

A continuación, se construye $\mathbb Q_{\ge 0}$ tomando formal cocientes de números naturales, y el establecimiento de clases de equivalencia y tal.

Ahora usted construcción $\mathbb R_{\ge 0}$ por tomar Dedekind recortes de los miembros de $\mathbb Q_{\ge 0}$, ten en cuenta, que dado que sólo haciendo positivos reales, usted sólo tenga el corte a la derecha, pero no estoy seguro.

Ahora usted construcción $\mathbb R$ tomando diferencias formales de $\mathbb R_{\ge 0}$. No introducir resta hasta este punto.

Este camino se asegura de que usted no tiene que tomar Dedekind cortes de $\mathbb Q$, que es diferente para los positivos, negativos y el cero (que es hasta nueve casos de cada operación!)

A partir del análisis de abajo hacia arriba generalmente no se hace, pero le da una perspectiva única sobre los reales. Personalmente creo en el formalismo, desde entonces siempre se puede saber qué es lo que te están hablando, en lugar de muchas cosas acerca de lo que están hablando.

Sugerencia para la División de $\mathbb R$:$r, s \in \mathbb R_{\ge 0}$:

$$\frac 1{r-s}=\frac{r-s}{(r-s)(r-s)}=\frac r{(r-s)^2} - \frac s{(r-s)^2}$$

donde $(r-s)^2 \in \mathbb R_{ge 0}$.

Answer 5

Bonito "fundamentos de análisis" de Landau da una cuenta excelente de la manera estándar de progresar de los números naturales para el verdadero y números complejos. Hay un montón de rutas alternativas, pero debe entender primero la cuenta estándar.