La determinación de los valores de una variable aleatoria toma

Question

Deje $(X_n)$ ser IID variables aleatorias de bernoulli y establecer $$Y_n = \sum_{i=1}^n \frac{X_i}{2^i}$$

Estoy tratando de mostrar esta converge débilmente a la distribución uniforme en $[0,1]$. Me da una pista de que primero debe mostrar lo que los valores que toma, y de encontrar el distrubtion función. He encontrado soluciones en línea que estado $Y_n$ toma los valores de $k/2^n$ $0 \leq k \leq 2^n - 1$ cada uno con una probabilidad de $1/2^n$ - yo no puedo ver esto. Podría alguien por favor explique por qué esto es así

Answer 1

En realidad, la secuencia de $X_1, X_2, \ldots, X_n$ pueden ser considerados como los dígitos de $Y$ en representación binaria: $$0.X_1X_2\ldots X_n$$

Así es que van de$0.00\ldots0$$0.11\ldots1$, con igual probabilidad.

La singularidad de la representación se puede ver, por ejemplo, La singularidad de la prueba de la representación binaria