Cómo resolver un sistema de ecuaciones logarítmicas?

Question

Necesito crear una función con las siguientes propiedades: $$f(1)=1$$ $$f(65)=75$$ $$f(100)=100$$

Además, la función de necesidades para crecer de forma logarítmica. Así que le da tres ecuaciones: $$A \cdot \ln(B \cdot 1 + C) = 1$$ $$A \cdot \ln(B \cdot 65 + C) = 75$$ $$A \cdot \ln(B \cdot 100 + C) = 100$$

Estoy teniendo problemas con el uso de la sustitución para resolver esto. La restricción de que no hay manera analítica para resolver este sistema, ¿cómo puedo utilizar una aproximación numérica para$A, B$$C$?

Answer 1

Esta no es una respuesta, sólo lo que he intentado utilizar el Conde Iblis la pista.

Deje $$f(x) = A\ln(x+B)+ C$$

Siempre se puede escribir la función con el coeficiente de $x$$1$, por lo que asumimos que es.

\begin{align*} f(1)&=A\ln(1+B)+ C=1\\ f(65)&=A\ln(65+B)+ C=75\\ f(100)&=A\ln(100+B)+ C=100 \end{align*}

Utilizamos el Conde Iblis la estrategia (la división de la segunda y tercera ecuaciones por el primero) para obtener estas ecuaciones:

\begin{align*} \frac{75-C}{1-C}&=\frac{\ln(65+B)}{\ln(1+B)}\\ \frac{100-C}{1-C}&=\frac{\ln(100+B)}{\ln(1+B)} \end{align*}

Podemos reescribir como estas

\begin{align*} (1+B)^{\frac{75-C}{1-C}} &=65+B\\ (1+B)^{\frac{100-C}{1-C}} &=100 + B \end{align*}

Si dejamos $m = 1+B$ $n=1-C$ tenemos

\begin{align*} m^{1 + (74/n)} &= m + 64\\ m^{1 + (99/n)} &= m + 99 \end{align*}

No está seguro de qué hacer a partir de aquí ...

Answer 2

Vamos a cambiar la ecuación ligeramente (sin pérdida de generalidad) de la escritura $$Bx+C=B(x-1)+(B+C)=D+B(x-1)$$ So, the equations become $$A\log(D)=1$$ $$A\log(D+64B)=75$$ $$A\log(D+99B)=100$$ so, writing differences $$75-1=A\log(D+64B)-A\log(D)=A\big(\log(D+64B)-\log(D)\big)=A \log\Big(1+64\frac BD\Big)$$ $$100-1=A\log(D+99B)-A\log(D)=A\big(\log(D+99B)-\log(D)\big)=A \log\Big(1+99\frac BD\Big)$$ Now, making the ratio $$\frac{74}{99}=\frac{\log\Big(1+64\frac BD\Big) }{\log\Big(1+99\frac BD\Big)}$$ Now, define $\alpha=\frac BD$ and we just have one equation fo solve for $\alpha$ $$\frac{74}{99}=\frac{\log(1+64\alpha) }{\log(1+99\alpha)}$$ which can write $$f(\alpha)=74\log(1+99\alpha)-99\log(1+64\alpha)=0$$ This equation can easily be solved using Newton method using a reasonable starting point $\alpha_0 >\frac{1}{160}$ since this corresponds to the solution of $f'(\alpha)=0$ y corresponde a un máximo de la función.

El uso de $\alpha_0=0.01$, las sucesivas itera son $$\alpha_1=0.020697549639315120708$$ $$\alpha_2=0.017552368652124192289$$ $$\alpha_3=0.017486590789402401622$$ $$\alpha_4=0.017486542504336179435$$ $$\alpha_5=0.017486542504309897026$$ which is the solution for $20$ cifras significativas.

Ahora, el uso de $$74=A \log(1+64\alpha)$$ we then obtain $$A=98.53400808297250480$$ and using $$A\log(D)=1$$ we then obtain $$D=1.0102004538294647697$$ and, finally, using $$\alpha=\frac BD$$ we obtain $$B=0.017664913173762083069$$ As you can notice, we only had to solve one single nonlinear equation in $\alfa$, all the remaining involving very basic calculations. If you really want the value of $C$, just use $B+C=D$ to get $$C=0.9925355406557026866$$

Editar

Solo por curiosidad (no se preocupe : usted se enterará de que pronto), podemos aproximar la función $f(\alpha)$ utilizando un Pade approximant alrededor de $\alpha=0$. Esto daría $$f(\alpha)=\frac{990 \alpha-\frac{21076275 \alpha^2}{323}}{1+\frac{92626 \alpha}{969}}$$ the numerator of which being zero for $\alpha=\frac{1938}{127735}\approx 0.015172$.

Editar

El problema podría ser generalizado. Supongamos que las ecuaciones son $$y_i=A\log(Bx_i+C)$$ Define $D=Bx_1+C$ to write $$y_i=A\log\big(D+B(x_i-x_1)\big)$$ So doing the same $$\frac{y_2-y_1}{y_3-y_1}=\frac{\log\big(1+(x_2-x_1)\alpha\big)}{\log\big(1+(x_3-x_1)\alpha\big)}$$ Solve for $\alfa$ (si existe una solución) y seguir el mismo proceso que el anterior.

Answer 3

Sugerencia: Trate de tomar la exp de ambos lados de cada ecuación. Por ejemplo teniendo exp de ambos lados de $A \cdot \ln(B \cdot 1 + C) = 1$ da $e^{A \cdot \ln(B+ C)}=e.$ esto quiere decir $e^{\ln(B + C)^A}=e.$ Por eso, $$(B + C)^A=e.$$