Suma de las raíces cúbicas de una ecuación cuadrática

Question

Si $a$ $b$ son las raíces de $x^2 -5x + 8 = 0$. ¿Cómo puedo encontrar a $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$ sin encontrar las raíces?

Sé cómo evaluar $\sqrt[2]{a} + \sqrt[2]{b}$ elevando al cuadrado y subbing para $a+b$ $ab$ a través de la suma y el producto de las raíces. Pero para esta pregunta, si me cube $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$ me quedo con los radicales que son difíciles de resolver, por ejemplo, $\sqrt[3]{a^2b}$

¿Cómo debo ir sobre el enfoque de este problema?

Edit: también he intentado dejar a $\sqrt[3]a+\sqrt[3]b=m$, lo que hace que $a+b+3m\sqrt[3]{ab}=m^3$ (por el aumento de todo el poder de la $3$ y, a continuación, sustituyendo $\sqrt[3]a+\sqrt[3]b=m$ nuevo), si que es de ayuda alguna.

Answer 1

Sugerencia:.

$$s^3=(\sqrt[3]a+\sqrt[3]b)^3=a+b+3\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]a+\sqrt[3]b)=5+6s$$

Answer 2

Las soluciones de la ecuación cuadrática no son números reales, por lo $\sqrt[3]{a}$ $\sqrt[3]{b}$ no son canónicamente determinado; por lo tanto, la suma puede tomar hasta 9 diferentes valores.

Desde $ab = 8$, una vez que elija uno de los tres posibles valores de $\sqrt[3]{a}$, puede que desee considerar sólo el valor de $\sqrt[3]{b} = 2/\sqrt[3]{a}$ para la segunda raíz. En ese caso, vamos a $S = \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}$. Entonces $S^3 = a+b + 3\sqrt[3]{ab} S$, lo $S$ es una solución de la ecuación cúbica $S^3 = 6S+5 \Longleftrightarrow (S+1)(S^2-S-5) = 0$. Las soluciones son $S_1=-1$, $S_2=\frac{1}{2}(1-\sqrt{21})$, y $S_3 = \frac{1}{2}(1+\sqrt{21})$.