Nota: Esta respuesta es un suplemento a la hermosa respuesta de @Winther. Es de ninguna manera una alternativa, pero un examen adicional. OPs pregunta que es R. P. Stanleys problema $47c$ en la Combinatoria Enumerativa Ed.02 y su elaboración dan lugar a algunas de las preguntas y yo tenía curiosidad por encontrar algo de información.
Sabemos de @Winther que debido a que el colector de propiedad del operador $(x+D)$ un caso especial de la BCH Teorema se puede aplicar conduce a
\begin{align*}
e^{(x+D)t}=e^{xt}e^{Dt}e^{\frac{t^2}{2}}\tag{1}
\end{align*}
Aspectos interesantes:
(1) OPs enfoque de cálculo de $(x+D)^n$ de forma iterativa para las pequeñas $n$ conduce a matrices con relación a los coeficientes binomiales en algunos sesgar las diagonales . ¿Cuál es la relación con (1) y ¿cómo podemos derivar una solución basada en OPs enfoque?
(2) Desde la R. P. Stanleys problemas $47a$ $47b$ están cerradas relacionadas con la actual y se muestran identidades con los números de Stirling $s(n,k)$ de los del primer tipo y los números de Stirling $S(n,k)$ de la segunda, que podemos esperar, que $47c$ también está relacionada con los números de Stirling.
(3) La primera fila de la OPs matriz de $n=5$ OPs indica una relación con el polinomio de Hermite. ¿Cómo interactúan?
Aspecto (1) OPs matrices y números de Bessel
Presentamos para su conveniencia únicamente la siguiente notación abreviada
\begin{align*}
(x+D^\ast)^n:=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{n-k}D^k
\end{align*}
Nota: Esto es no un operador en el sentido común, ya que no tenemos por ejemplo,$(x+D^\ast)^{n+1}=(x+D^\ast)(x+D^\ast)^{n}$.
Establecimiento $n=4$ $n=5$ obtenemos una representación de $(x+D)^n$ como la suma de un binomio expresiones de la forma $(x+D^\ast)^k$
\begin{align*}
(x+D)^4&=x^4+4x^3D+6x^2D^2+4xD^3+D^4\\
&\qquad+6(x^2+2xD+D^2)+3\\
&=\color{blue}{\mathbf{1}}(x+D^\ast)^4+\color{blue}{\mathbf{6}}(x+D^\ast)^2+\color{blue}{\mathbf{3}}
\\
\\
(x+D)^5&=x^5+5x^4D+10x^3D^2+10x^2D^3+5xD^4+D^5\\
&\qquad+10(x^3+3x^2D+3xD^2+D^3)+15(x+D)\\
&=\color{blue}{\mathbf{1}}(x+D^\ast)^5+\color{blue}{\mathbf{10}}(x+D^\ast)^3+\color{blue}{\mathbf{15}}(x+D^\ast)
\end{align*}
Esta representación muestra los coeficientes binomiales y los múltiplos que podemos ver en las diagonales de la OPs matrices. Nos centramos en los coeficientes de $(x+D^\ast)^k$ y encontrar
\begin{align*}
\begin{array}{rrrrrrrrrr}
&k&0&1&2&3&4&5&6&7\\\hline
n&&\phantom{105}&\phantom{105}&\phantom{105}&\phantom{105}
&\phantom{105}&\phantom{105}&\phantom{105}&\phantom{105}\\
0&&1\\
1&&&1\\
2&&&1&1\\
3&&&&3&1\\
4&&&&\color{blue}{\mathbf{3}}&\color{blue}{\mathbf{6}}&\color{blue}{\mathbf{1}}\\
5&&&&&\color{blue}{\mathbf{15}}&\color{blue}{\mathbf{10}}&\color{blue}{\mathbf{1}}\\
6&&&&&15&45&15&1\\
7&&&&&&105&105&21&1\\
\end{array}
\end{align*}
El azul entradas muestran los coeficientes del cálculo anterior. Ahora OEIS identifica estas entradas como la secuencia de A100861: Triángulo de Bessel números leídos por filas.
La siguiente información está basada en La de Bessel de los números y de las matrices por Sheng Liang Yang y Ke Zhan Qiao y
Bessel números están relacionados con los Números de Stirling del Segundo tipo, ya que:
Bessel números de $B(n,k)$ el número de particiones de un $n$en $k$ no vacía de subconjuntos, cada uno de tamaño en la mayoría de las $2$.
Los números de Stirling del segundo tipo $S(n,k)$ el número de particiones de un $n$en $k$ no vacía de subconjuntos.
La conexión también puede muy bien ser visto a través de la vertical exponencial funciones de generación de $B(n,k)$ $S(n,k)$
\begin{align*}
\sum_{n=k}^{\infty}B(n,k)\frac{t^n}{n!}&=\frac{1}{k!}\left(t+\frac{t^2}{2}\right)^k\tag{2}\\
\\
\sum_{n=k}^{\infty}S(n,k)\frac{t^n}{n!}&=\frac{1}{k!}\left(e^t-1\right)^k\\
&=\frac{1}{k!}\left(t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\ldots\right)^k
\end{align*}
El número de sumandos en el lado derecho de (2) indica que la restricción del tamaño de la $k$ subconjuntos en la mayoría de las $2$.
Ahora obtenemos una representación de $(x+D)^n$ con Bessel números:
\begin{align*}
(x+D)^n&=B(n,n)(x+D^\ast)^n+B(n,n-1)(x+D^\ast)^{n-1}\\
&\qquad+\ldots
+B(n,n-\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor)(x+D^\ast)^{n-2\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}\\
&=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}B(n,n-k)(x+D^\ast)^{n-2k}\\%\tag{3}\\
&=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}B(n,n-k)\sum_{l=0}^{n-2l}\binom{n-2k}{l}x^lD^{n-2k-l}\\
\end{align*}
Los coeficientes de $(x+D)^n=\sum_{i,j}a_{n,i,j}x^iD^j$, en términos de números de Bessel
\begin{align*}
a_{n,i,j}&=[x^iD^j](x+D)^n\\
&=[D^j]\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}B(n,n-k)\sum_{l=0}^{n-2l}\binom{n-2k}{i}D^{n-2k-i}\\
&=\begin{cases}
{\displaystyle B(n,\frac{n+i+j}{2})\binom{i+j}{i}}&\qquad\qquad i+j\equiv n(2)
\\
0&\qquad\qquad \text{otherwise}
\end{casos}
\end{align*}
En la última línea utilizamos $n-2k-i=j$, lo $k=\frac{n-i-j}{2}$ si $i+j\equiv n(2)$
Conexión con $e^{xt}e^{Dt}e^{\frac{t^2}{2}}$:
El uso de (1) obtenemos la siguiente representación de $B(n,k)$.
\begin{align*}
e^{xt}e^{Dt}e^{\frac{t^2}{2}}&=\sum_{i\geq 0}\frac{x^i}{i!}t^i \sum_{j\geq 0}\frac{D^j}{j!}t^je^{\frac{t^2}{2}}\\
&=\sum_{i\geq 0}\sum_{j\geq 0}\binom{i+j}{i}x^iD^j\frac{t^{i+j}}{(i+j)!}\sum_{k\geq 0}\frac{1}{2^k}\frac{t^{2k}}{k!}\\
&=\sum_{n\geq 0}\sum_{{i,j,k\geq 0}\atop{i+j+2k=n}}\binom{i+j}{i}\frac{1}{(i+j)!}\frac{1}{k!}\frac{1}{2^k}x^iD^jt^{i+j+2k}\\
&=\sum_{n\geq 0}\sum_{{0\leq i,j\leq n}\atop{i+j\equiv n(2)}}\binom{i+j}{i}\frac{n!}{(i+j)!\left(\frac{n-i-j}{2}\right)!}\cdot\frac{1}{2^{\frac{n-i-j}{2}}}x^iD^j\frac{t^{n}}{n!}\\
\end{align*}
Llegamos a la conclusión de
\begin{align*}
B\left(n,\frac{n+i+j}{2}\right)=
\begin{cases}
{\displaystyle
\frac{n!}{(i+j)!\left(\frac{n-i-j}{2}\right)!}\cdot\frac{1}{2^{\frac{n-i-j}{2}}}
}&\qquad\qquad i+j\equiv n(2)\\
0&\qquad\qquad \text{otherwise}
\end{casos}
\end{align*}
Por supuesto, también podría derivar de un cerrado fórmula para $B(n,k)$ con otros medios, por ejemplo, la representación de (2).
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Aspecto (2) Conexión con los números de Stirling
Bien conocida la relación entre los números de Stirling de primera especie y de la segunda clase es
\begin{align*}
\sum_{j=0}^ns(n,j)S(j,k)=\delta_{n,k}\qquad n\geq 0, \quad 0\leq k \leq n
\end{align*}
con $\delta_{n,k}$ el delta de Kronecker símbolo. Los autores utilizan exponencial Riordan matrices en su papel para mostrar en (19) una identidad similar con Bessel números.
\begin{align*}
B(n,k)=\sum_{j=k}^n2^{j-k}s(n,j)S(j,k)\qquad n\geq 0, \quad 0\leq k \leq n
\end{align*}
$$$$
De aspecto (3) Conexión con los Polinomios de Hermite
También podemos encontrar información acerca de los Polinomios de Hermite en el papel. La secuencia de sumas de fila de la tabla con los números de Bessel por encima de podemos, según el Teorema 3.2 estar representado por los polinomios de Hermite,
\begin{align*}
H_n(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}\frac{(-1)^kn!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}
\end{align*}
el cual puede ser definido por la generación de la función
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}H_n(x)\frac{t^n}{n!}=e^{2xt-t^2}
\end{align*}
La forma de la generación de esta función realiza una conexión con la generación de funciones de Bessel números plausible. De hecho, las funciones de Hermite jugar un papel importante a la hora de estudiar la diferenciación de los operadores. Ver, por ejemplo, Generalizada polinomios, operaciones identidades y sus aplicaciones por G. Dattoli. Se presenta con la fórmula (18) la siguiente generalización de la $(x+D)^n$ en términos de los polinomios de Hermite:
\begin{align*}
(\alpha D+\beta x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\alpha^kH_{n-k}\left(\beta x,\frac{1}{2}\alpha\beta\right)D^k
\end{align*}
