Es una función continua $f : \mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ siempre está acotado en un intervalo cerrado?

Question

¿Puede una función $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ que es continua en un intervalo $[a,b]$ no está acotado en $[a,b]$ ? Lo pregunto porque en la obra de Spivak Cálculo El "Teorema de la acotación", que afirma que toda función de valor real que es continua en un intervalo cerrado está acotada en ese intervalo, se demuestra utilizando las propiedades de los números reales. Sin embargo, no se me ocurre ningún contraejemplo en el que falle para los racionales.

Answer 1

Definir $f\colon \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ por

$$f(x) = \begin{cases} 1 &, x \leqslant 0 \\ 1 &, x > \pi^{-1} \\ k &, \pi^{-1} - \pi^{-k} < x < \pi^{-1} - \pi^{-k-1},\end{cases}$$

donde $k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$ . Dado que los saltos de $f$ están en los puntos irracionales $\pi^{-1} - \pi^{-k},\, k \geqslant 2$ y en $\pi^{-1}$ , $f$ es continua, y $f$ no tiene límites en $[0,1]\cap\mathbb{Q}$ .

Answer 2

Tal vez un ejemplo más sencillo que el dado por Daniel,

$$f(x)=\frac1{x^2-2}$$

No es difícil demostrar que esta función es continua en todo número racional (basta con observar que es continua en $\Bbb R\setminus\{\pm\sqrt2\}$ y por tanto su restricción es continua). Pero no está acotada en el intervalo $[1,2]$ .