¿Cuál es mi error en el cálculo?

Question

El convenio de sumación de bodegas. Si $\frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=\frac{2}{n}rg_{ij}-2R_{ij}$, entonces ,calcular: $$ \frac{1}{2}g^{ij}\frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=\frac{1}{2}g^{ij}(\frac{2}{n}rg_{ij}-2R_{ij})=\frac{1}{n}r(\sum\limits_i\sum\limits_jg^{ij}g_{ij})-g^{ij}R_{ij}=nr-R $$

Pero en el Hamilton de TRES COLECTORES CON el POSITIVO de la CURVATURA de RICCI,el resultado es : $$ \frac{1}{2}g^{ij}\frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=r-R $$

No sé de donde puedo hacer mi error,y que me puede decir ? Muy gracias.

Answer 1

Nota:

$$\sum_{i,j=1}^n g^{ij} g_{ij} = \text{tr} (g^{-1}g) = \text{tr} (I_n) = n.$$

Answer 2

$$ \sum_j g^{ij} g_{kj} = \delta^i_k $$ Ahora, $\delta^i_i = 1$; no se suma, por lo que $$ \sum_i \sum_j g^{ij} g_{ij} = \sum_i \delta_i^i = \sum_i 1 = n. $$ Puede ser confuso si usted está o no utilizando el convenio de sumación.